Il rapporto percentuale

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1. La scuola apre tre laboratori pomeridiani e i $28$ studenti di seconda votano quale frequentare: $21$ scelgono scienze. Quale percentuale rappresentano?

   • A Il $21\%$
   • B Il $75\%$
   • C Il $133\%$
   • D Il $7\%$
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   Risposta giusta: B. Il $75\%$

   $\frac{21}{28}=\mathrm{0,75}$, cioè il $75\%$. $133\%$ è il risultato del rapporto invertito ($\frac{28}{21}$), che confronta il totale con la parte e risponde a un'altra domanda; $21\%$ scambia il numero di studenti per una percentuale.

2. Nello stesso problema, quale frazione va scritta per prima?

   • A $\frac{28}{21}$
   • B $\frac{21}{28}$
   • C $\frac{21}{100}$
   • D $\frac{28}{100}$
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   Risposta giusta: B. $\frac{21}{28}$

   Al numeratore va la parte, al denominatore il totale di riferimento: $\frac{21}{28}$. Il $100$ entra solo dopo, moltiplicando il rapporto per trasformarlo in percentuale. Scrivere $\frac{21}{100}$ significherebbe dare per scontato che il totale sia cento.

3. Nell'indagine sui laboratori, qual è il totale di riferimento?

   • A I $21$ studenti che hanno scelto scienze
   • B I $7$ studenti che hanno scelto arte o musica
   • C Tutti i $28$ studenti che hanno votato
   • D I tre laboratori disponibili
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   Risposta giusta: C. Tutti i $28$ studenti che hanno votato

   Il totale è l'insieme intero da cui si estrae la parte: tutti i $28$ che hanno espresso un voto, compresi i $7$ che hanno preferito arte o musica. Sbagliare il denominatore cambia la risposta più di qualunque errore di calcolo.

4. Sempre sui $28$ studenti, quale percentuale rappresentano i $7$ che hanno scelto arte o musica?

   • A Il $7\%$
   • B Il $25\%$
   • C Il $33\%$
   • D Il $75\%$
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   Risposta giusta: B. Il $25\%$

   $\frac{7}{28}=\mathrm{0,25}=25\%$. Il controllo è immediato: $75\%+25\%=100\%$, perché le due parti insieme formano tutti i votanti. $33\%$ nascerebbe da $\frac{7}{21}$, cioè dal confronto con l'altra parte invece che con il totale.

5. In una classe di $24$ alunni, $18$ vanno a scuola a piedi. Quale percentuale è?

   • A Il $18\%$
   • B Il $60\%$
   • C Il $75\%$
   • D Il $133\%$
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   Risposta giusta: C. Il $75\%$

   $\frac{18}{24}=\mathrm{0,75}=75\%$. Conviene semplificare prima: $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$, e tre quarti sono il $75\%$. Riconoscere le frazioni note ($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$) permette spesso di rispondere senza divisioni; $60\%$ nascerebbe da un totale di $30$, che qui non è la classe.

6. In una classe di $25$ alunni, $5$ suonano uno strumento. Un compagno risponde «il $50\%$». Perché è impossibile?

   • A Perché $5$ è molto meno della metà di $25$
   • B Perché il totale non è $100$
   • C Perché $5$ non è divisibile per $25$
   • D Perché le percentuali si calcolano solo su totali pari
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   Risposta giusta: A. Perché $5$ è molto meno della metà di $25$

   La metà di $25$ sarebbe $\mathrm{12,5}$: con soli $5$ alunni la percentuale deve essere ben sotto il $50\%$. Il valore giusto è $\frac{5}{25}=\mathrm{0,2}=20\%$. Una stima grossolana — «più o meno della metà?» — smaschera subito le risposte assurde.

7. Che cosa si ottiene invertendo il rapporto e scrivendo $\frac{28}{21}$ al posto di $\frac{21}{28}$?

   • A Lo stesso risultato, scritto in modo diverso
   • B La risposta a una domanda diversa: quanto è il totale rispetto alla parte
   • C La percentuale degli studenti che non hanno scelto scienze
   • D Un errore di calcolo che si corregge moltiplicando per $2$
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   Risposta giusta: B. La risposta a una domanda diversa: quanto è il totale rispetto alla parte

   $\frac{28}{21}\approx \mathrm{1,33}$, cioè il $133\%$: significa che il totale è una volta e un terzo la parte. È un numero sensato, ma risponde a un'altra domanda. Nel rapporto percentuale l'ordine non è una convenzione: decide che cosa stai confrontando.

8. Su $40$ prenotazioni per la gita, $34$ sono state confermate. Quale percentuale è stata confermata?

   • A Il $34\%$
   • B Il $85\%$
   • C Il $15\%$
   • D Il $118\%$
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   Risposta giusta: B. Il $85\%$

   $\frac{34}{40}=\mathrm{0,85}=85\%$. Il $15\%$ è la parte non confermata, cioè la risposta alla domanda opposta; $118\%$ è il rapporto invertito $\frac{40}{34}$, che supera il $100\%$ perché confronta il totale con la parte. La stima conferma: $34$ è vicino a $40$, quindi la percentuale deve essere alta.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

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