Applicazioni delle proporzioni

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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• Area giochi Proporzioni (PhET, sito esterno): Prova a ridimensionare una situazione concreta mantenendo il rapporto iniziale e osserva come tutte le quantità coinvolte cambiano con lo stesso fattore.

1. Tre quaderni costano 6 €. Quanto costano cinque quaderni dello stesso tipo?

   • A 10 €
   • B 8 €
   • C 15 €
   • D 3 €
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   Risposta giusta: A. 10 €

   La relazione è diretta: $3:6=5:x$$\frac{3}{6}=\frac{5}{x}$, quindi $3·x=6·5$ e $x=10$. 8 € nasce dall'aggiungere soltanto 2 € perché i quaderni aumentano di 2, ma il prezzo cresce con il fattore $\frac{5}{3}$. 15 € nasce da $5·3$, confondendo il numero di quaderni con il prezzo di un quaderno. 3 € ripete il numero iniziale di quaderni invece di calcolare il costo.

2. Quattro operai completano un lavoro in 15 giorni. In quanti giorni lo completeranno sei operai, lavorando allo stesso ritmo?

   • A $\mathrm{22,5}$ giorni
   • B 9 giorni
   • C 10 giorni
   • D 12 giorni
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   Risposta giusta: C. 10 giorni

   Operai e giorni sono inversamente proporzionali: il prodotto resta $4·15=60$, perciò con 6 operai i giorni sono $\frac{60}{6}=10$. $\mathrm{22,5}$ giorni nasce dall'impostare una proporzione diretta: più operai darebbero paradossalmente più giorni. 9 giorni deriva dal sottrarre 6 da 15, operazione che non conserva il prodotto. 12 giorni nasce dal dividere 60 per 5, usando un numero di operai diverso da quello indicato.

3. Su una carta in scala $1:\mathrm{50 000}$, un sentiero lungo 4 cm sulla carta quanto misura nella realtà?

   • A 200 m
   • B 20 km
   • C 50 km
   • D 2 km
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   Risposta giusta: D. 2 km

   Un centimetro sulla carta corrisponde a $\mathrm{50 000}$ cm reali, cioè 500 m; quindi 4 cm corrispondono a $4·500=\mathrm{2 000}$ m, ossia 2 km. 200 m usa $4·50$ ma dimentica che la scala contiene $\mathrm{50 000}$, non 50. 20 km aggiunge uno zero alla conversione corretta. 50 km usa la lunghezza reale di 1 cm come se valesse per tutti e 4 i centimetri.

4. Per 6 persone servono 450 g di farina. Quanti grammi servono per 10 persone mantenendo le stesse porzioni?

   • A 600 g
   • B 270 g
   • C 750 g
   • D 4 500 g
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   Risposta giusta: C. 750 g

   Le persone e la farina sono direttamente proporzionali: $\frac{450}{6}=75$ g per persona e $75·10=750$ g. 600 g aggiunge soltanto 150 g senza usare il costo unitario della porzione. 270 g deriva dal calcolo inverso $450·\frac{6}{10}$, che farebbe diminuire la farina quando aumentano le persone. 4 500 g moltiplica 450 per 10 e dimentica che 450 g servono già a 6 persone.

5. In quale situazione non è corretto usare una proporzionalità diretta tra le due grandezze indicate?

   • A Costo di una corsa in taxi e chilometri percorsi, se c'è un prezzo fisso di partenza.
   • B Litri di succo e numero di bicchieri uguali riempiti.
   • C Numero di quaderni uguali acquistati e costo totale.
   • D Ingredienti di una ricetta e numero di porzioni uguali.
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   Risposta giusta: A. Costo di una corsa in taxi e chilometri percorsi, se c'è un prezzo fisso di partenza.

   Con un prezzo fisso iniziale il costo non passa per zero quando i chilometri sono zero: il rapporto costo/chilometri non resta costante, quindi non è una proporzionalità diretta. Nelle altre tre situazioni, mantenendo bicchieri, quaderni o porzioni uguali, raddoppiare una grandezza raddoppia anche l'altra. Scambiare il taxi per un caso diretto significa ignorare il costo fisso.

6. Otto piastrelle uguali coprono $2$ m². Quale superficie coprono 30 piastrelle uguali?

   • A $\mathrm{3,75}$ m²
   • B $\mathrm{7,5}$ m²
   • C 15 m²
   • D 60 m²
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   Risposta giusta: B. $\mathrm{7,5}$ m²

   Una piastrella copre $\frac{2}{8}=\mathrm{0,25}$ m², quindi 30 piastrelle coprono $\mathrm{0,25}·30=\mathrm{7,5}$ m². $\mathrm{3,75}$ m² dimezza il risultato corretto senza motivo. 15 m² usa 0,5 m² per piastrella, come se 2 m² fossero coperti da 4 piastrelle. 60 m² moltiplica $2·30$ e dimentica di dividere per le 8 piastrelle iniziali.

7. Un viaggio di 180 km richiede 3 ore alla velocità costante di 60 km/h. Quanto tempo richiede alla velocità costante di 90 km/h?

   • A $\mathrm{4,5}$ ore
   • B $\mathrm{2,5}$ ore
   • C 3 ore
   • D 2 ore
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   Risposta giusta: D. 2 ore

   A distanza fissa, velocità e tempo sono inversamente proporzionali: $60·3=180$ e $\frac{180}{90}=2$, quindi servono 2 ore. $\mathrm{4,5}$ ore nasce dall'impostare una relazione diretta e dal calcolo $3·\frac{90}{60}$. $\mathrm{2,5}$ ore applica una sottrazione arbitraria di mezz'ora, invece di conservare il prodotto velocità · tempo. 3 ore lascia invariato il tempo e ignora l'aumento della velocità.

8. Cinque fotografie costano 8 €. Quante fotografie dello stesso formato si possono stampare con 24 €?

   • A 3
   • B 15
   • C 40
   • D 19
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   Risposta giusta: B. 15

   Il denaro è tre volte $8$ €, quindi anche le fotografie sono tre volte 5: $5:8=x:24$$\frac{5}{8}=\frac{x}{24}$ e $x=15$. 3 è il fattore di aumento $\frac{24}{8}$, non il numero finale di fotografie. 40 nasce dal prodotto $5·8$ e non usa i 24 € disponibili. 19 aggiunge 11 a 8 senza una proporzione: il numero di fotografie deve crescere con lo stesso fattore del denaro.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.