Proporzioni nella forma a : b = c : d

La lezione in un colpo d'occhio: parti dalla proporzione e segui i rami per riconoscere termini, proprietà e calcoli.

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• Rapporti e proporzioni (PhET, sito esterno): Prova a regolare quattro quantità finché i due rapporti coincidono e osserva come ogni termine partecipa al mantenimento della proporzione.

1. Nella proporzione $4:7=12:21$$\frac{4}{7}=\frac{12}{21}$, quali sono i medi?

   • A 4 e 21
   • B 4 e 7
   • C 7 e 12
   • D 12 e 21
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   Risposta giusta: C. 7 e 12

   I medi sono i due termini interni, quindi 7 e 12. 4 e 21 sono gli estremi; 4 e 7 sono i termini del primo rapporto e 12 e 21 quelli del secondo: non basta scegliere una coppia vicina, occorre guardare la posizione nella proporzione.

2. Quale uguaglianza è una proporzione vera?

   • A $3:5=12:20$$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$
   • B $3:5=12:15$$\frac{3}{5}=\frac{12}{15}$
   • C $3:5=9:12$$\frac{3}{5}=\frac{9}{12}$
   • D $3:5=15:20$$\frac{3}{5}=\frac{15}{20}$
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   Risposta giusta: A. $3:5=12:20$$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$

   È vera $3:5=12:20$$\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$, perché $3·20=5·12=60$. Nelle altre proposte i prodotti in croce sono rispettivamente 45 e 60, 36 e 45, 60 e 75: moltiplicare o modificare solo alcuni termini non conserva il rapporto.

3. Completa la proporzione $4:7=12:x$$\frac{4}{7}=\frac{12}{x}$.

   • A 28
   • B 21
   • C 16
   • D 7
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   Risposta giusta: B. 21

   Dalla proprietà fondamentale si ha $4·x=7·12$, quindi $x=\frac{84}{4}=21$. 28 nasce dal calcolo errato $4·7$, 16 dalla somma $12+4$ e 7 dal copiare un termine dato senza usare il prodotto in croce.

4. Completa la proporzione $x:8=15:24$$\frac{x}{8}=\frac{15}{24}$.

   • A 3
   • B 20
   • C 5
   • D 40
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   Risposta giusta: C. 5

   I prodotti in croce danno $x·24=8·15=120$, perciò $x=\frac{120}{24}=5$. 3 nasce dal dividere $24:8$ e dimenticare 15; 20 e 40 derivano dal combinare alcuni numeri dati senza rispettare l'uguaglianza tra prodotti.

5. Quale numero completa la proporzione $x:9=14:21$$\frac{x}{9}=\frac{14}{21}$?

   • A 14
   • B 12
   • C 9
   • D 6
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   Risposta giusta: D. 6

   $x·21=9·14=126$, quindi $x=\frac{126}{21}=6$. 14 e 9 ripetono uno dei termini già presenti; 12 nasce dalla differenza $21-9$, ma il termine incognito si trova con prodotti e divisione, non con una sottrazione.

6. Completa la proporzione $5:8=x:24$$\frac{5}{8}=\frac{x}{24}$.

   • A 15
   • B 3
   • C 19
   • D 40
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   Risposta giusta: A. 15

   Poiché $5·24=8·x$, si ottiene $x=\frac{120}{8}=15$. 3 deriva dal dividere $24:8$ senza considerare 5; 19 dalla somma $5+8+6$ e 40 dal moltiplicare 5 per 8: nessuno di questi calcoli mantiene uguali i prodotti in croce.

7. Tre quaderni costano 4,5 €. Cinque quaderni costano x €. Quale proporzione mantiene lo stesso ordine «quaderni : costo»?

   • A $3:5=x:\mathrm{4,5}$$\frac{3}{5}=\frac{x}{\mathrm{4,5}}$
   • B $3:\mathrm{4,5}=5:x$$\frac{3}{\mathrm{4,5}}=\frac{5}{x}$
   • C $\mathrm{4,5}:5=3:x$$\frac{\mathrm{4,5}}{5}=\frac{3}{x}$
   • D $3:\mathrm{4,5}=x:5$$\frac{3}{\mathrm{4,5}}=\frac{x}{5}$
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   Risposta giusta: B. $3:\mathrm{4,5}=5:x$$\frac{3}{\mathrm{4,5}}=\frac{5}{x}$

   In entrambi i rapporti l'ordine deve essere «quaderni : costo», quindi $3:\mathrm{4,5}=5:x$$\frac{3}{\mathrm{4,5}}=\frac{5}{x}$. La prima e la terza proposta mescolano quantità non corrispondenti; l'ultima pone x nella posizione dei quaderni anziché in quella del costo.

8. Completa la proporzione $6:10=9:x$$\frac{6}{10}=\frac{9}{x}$.

   • A 10
   • B 9
   • C 6
   • D 15
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   Risposta giusta: D. 15

   La proprietà fondamentale dà $6·x=10·9=90$, dunque $x=\frac{90}{6}=15$. 10, 9 e 6 ripetono un termine noto, ma non soddisfano l'uguaglianza dei prodotti: per esempio con $x=10$, $6·10=60$, non 90.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.