Matematica · 2ª media · Lezione 4 di 11

Le proporzioni

Che cos'è una proporzione, la proprietà fondamentale e come si trova il termine incognito.

Teoria in pillole

Un rapporto confronta due numeri e si scrive $a : b$ , con il secondo termine diverso da zero. Una proporzione uguaglia due rapporti.

$a : b = c : x$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$

$x = b \cdot \frac{c}{a}$

con a, b e c diversi da zero, x è il quarto termine

La proprietà fondamentale dà $a \cdot x = b \cdot c$ .
Dividendo per a si isola x; il valore ottenuto deve essere diverso da zero.

La formula cambia se l'incognita occupa un'altra posizione: parti sempre dal prodotto in croce, senza memorizzare una divisione generica.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Apri la mappa in grande

Simulazioni

Rapporti e proporzioni (PhET, sito esterno): Prova a formare due rapporti equivalenti con quantità diverse e osserva come la proporzione esprime la stessa relazione in due scale.

Domande

Nella proporzione $3 : 4 = 9 : x$ $\frac{3}{4} = \frac{9}{x}$ , quanto vale x?
- A 10
- B 12
- C 7
- D 36
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. 12
La proprietà fondamentale dà $3 \cdot x = 4 \cdot 9 = 36$ , quindi $x = \frac{36}{3} = 12$ . $36$ è il prodotto in croce non ancora diviso per 3; $7$ nasce dalla somma dei primi due termini; $10$ può venire dall'aggiungere a 9 la differenza $4 - 3$ , ma una proporzione richiede prodotti, non somme o differenze.
Quale uguaglianza esprime la proprietà fondamentale della proporzione $5 : 8 = 15 : 24$ $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ ?
- A $5 \cdot 15 = 8 \cdot 24$
- B $5 + 24 = 8 + 15$
- C $5 \cdot 24 = 8 \cdot 15$
- D $5 \cdot 8 = 15 \cdot 24$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $5 \cdot 24 = 8 \cdot 15$
Gli estremi sono 5 e 24, i medi 8 e 15: perciò $5 \cdot 24 = 8 \cdot 15 = 120$ . Moltiplicare 5 per 15 e 8 per 24 accoppia termini corrispondenti, non quelli in croce; sommare i termini non verifica una proporzione; moltiplicare ogni singolo rapporto confronta prodotti che non sono richiesti dalla proprietà fondamentale.
Nella proporzione $2 : 3 = 8 : 12$ $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , quali sono gli estremi e quali i medi?
- A 2 e 8 sono estremi; 3 e 12 sono medi.
- B 2 e 3 sono estremi; 8 e 12 sono medi.
- C 3 e 12 sono estremi; 2 e 8 sono medi.
- D 2 e 12 sono estremi; 3 e 8 sono medi.
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. 2 e 12 sono estremi; 3 e 8 sono medi.
Gli estremi occupano il primo e l'ultimo posto: sono 2 e 12. I medi sono i due termini interni, 3 e 8. Scambiare solo una coppia confonde la posizione con l'ordine di lettura; chiamare estremi i termini dello stesso rapporto ignora invece la struttura completa $a : b = c : d$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
Risolvi $4 : 7 = x : 21$ $\frac{4}{7} = \frac{x}{21}$ .
- A 12
- B 84
- C 7
- D 25
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. 12
Dal prodotto in croce si ottiene $4 \cdot 21 = 7 \cdot x$ , cioè $84 = 7 x$ , quindi $x = 12$ . $84$ è il prodotto degli estremi, ma non è ancora il valore di x; $7$ ripete un termine noto senza calcolare l'incognita; $25$ deriva dalla somma $4 + 21$ , operazione che non conserva l'uguaglianza tra rapporti.
Quale delle seguenti è una proporzione vera?
- A $2 : 5 = 6 : 12$ $\frac{2}{5} = \frac{6}{12}$
- B $3 : 4 = 8 : 12$ $\frac{3}{4} = \frac{8}{12}$
- C $4 : 10 = 6 : 15$ $\frac{4}{10} = \frac{6}{15}$
- D $5 : 6 = 10 : 15$ $\frac{5}{6} = \frac{10}{15}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. $4 : 10 = 6 : 15$ $\frac{4}{10} = \frac{6}{15}$
Per $4 : 10 = 6 : 15$ $\frac{4}{10} = \frac{6}{15}$ , i prodotti in croce sono entrambi 60: $4 \cdot 15 = 10 \cdot 6$ . Nelle altre proposte i prodotti non coincidono: $2 \cdot 12 = 24$ e $5 \cdot 6 = 30$ ; $3 \cdot 12 = 36$ e $4 \cdot 8 = 32$ ; $5 \cdot 15 = 75$ e $6 \cdot 10 = 60$ . Vedere numeri raddoppiati o vicini non basta: va controllato il prodotto in croce.
Nella proporzione $x : 6 = 10 : 15$ $\frac{x}{6} = \frac{10}{15}$ , quanto vale x?
- A 1,5
- B 9
- C 25
- D 4
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. 4
La proprietà fondamentale dà $15 \cdot x = 6 \cdot 10 = 60$ , quindi $x = \frac{60}{15} = 4$ . $1,5$ è il rapporto $15 : 10$ , ma non è il primo termine cercato; $9$ nasce dalla differenza $15 - 6$ ; $25$ dalla somma $10 + 15$ . Per trovare x bisogna prima individuare gli estremi e i medi.
Quale passaggio è corretto per trovare x nella proporzione $9 : 12 = 15 : x$ $\frac{9}{12} = \frac{15}{x}$ ?
- A $9 \cdot x = 12 \cdot 15$
- B $9 \cdot 15 = 12 \cdot x$
- C $x = 9 \cdot \frac{12}{15}$
- D $x = 9 \cdot \frac{15}{12}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $9 \cdot x = 12 \cdot 15$
In $9 : 12 = 15 : x$ $\frac{9}{12} = \frac{15}{x}$ , gli estremi sono 9 e x, quindi $9 \cdot x = 12 \cdot 15$ e $x = 20$ . Scrivere $9 \cdot 15 = 12 \cdot x$ scambia un medio con un estremo; le altre due divisioni usano i fattori del prodotto in croce nella posizione sbagliata e producono rispettivamente $7,2$ e $11,25$ , non 20.
Nella proporzione $7 : x = 21 : 30$ $\frac{7}{x} = \frac{21}{30}$ , quanto vale x?
- A 210
- B 10
- C 3
- D 90
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. 10
Il prodotto in croce è $7 \cdot 30 = 21 \cdot x$ : $210 = 21 x$ , dunque $x = 10$ . $210$ è il prodotto non ancora diviso per 21; $3$ è il fattore con cui 7 diventa 21, ma qui x deve trasformare 30 nello stesso rapporto inverso; $90$ nasce da $30 \cdot 3$ e applica il fattore nel verso sbagliato.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.

Apri la lezione interattiva