Grandezze direttamente proporzionali

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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• Rapporti e proporzioni (PhET, sito esterno): Prova ad aumentare entrambe le quantità mantenendo fisso il rapporto e osserva come una variazione moltiplicativa produce coppie direttamente proporzionali.

1. Quale tabella descrive due grandezze direttamente proporzionali?

   • A $x$: 1, 2, 3; $y$: 4, 6, 8
   • B $x$: 1, 2, 3; $y$: 4, 8, 12
   • C $x$: 1, 2, 3; $y$: 12, 6, 4
   • D $x$: 1, 2, 3; $y$: 5, 10, 20
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   Risposta giusta: B. $x$: 1, 2, 3; $y$: 4, 8, 12

   Nella seconda tabella il rapporto $\frac{y}{x}$ vale sempre $4$: è quindi una proporzionalità diretta. Nella prima i rapporti sono $4$, $3$ e $\frac{8}{3}$, quindi cresce ma non con fattore costante. Nella terza resta costante il prodotto $x·y=12$, caratteristico dell'inversa. Nell'ultima i rapporti sono $5$, $5$ e $\frac{20}{3}$: il raddoppio iniziale può ingannare, ma la terza coppia rompe la regola.

2. Se $x=2$ e $y=14$ in una relazione direttamente proporzionale, qual è la costante $k$?

   • A $12$
   • B $\frac{1}{7}$
   • C $28$
   • D $7$
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   Risposta giusta: D. $7$

   La costante è $k=\frac{y}{x}=\frac{14}{2}=7$. $12$ nasce dalla sottrazione $14-2$, che non misura la proporzionalità. $\frac{1}{7}$ è il rapporto inverso $\frac{x}{y}$, non quello richiesto. $28$ nasce dal prodotto $14·2$, utile invece per riconoscere una relazione inversa.

3. Nella relazione $y=4·x$, quanto vale y se $x=6$?

   • A $10$
   • B $16$
   • C $24$
   • D $4$
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   Risposta giusta: C. $24$

   Si sostituisce $x$ con $6$: $y=4·6=24$. $10$ nasce dalla somma $4+6$, ma la regola richiede una moltiplicazione. $16$ usa $4·4$ e ignora il valore assegnato a x. $4$ confonde la costante k con il valore di y: k è il fattore che deve essere moltiplicato per x.

4. In una proporzionalità diretta, se x diventa tre volte più grande, che cosa accade a y?

   • A Anche y diventa tre volte più grande.
   • B y diminuisce a un terzo.
   • C y aumenta di 3 unità.
   • D y resta uguale.
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   Risposta giusta: A. Anche y diventa tre volte più grande.

   Le due grandezze vengono moltiplicate per lo stesso fattore: se x viene moltiplicata per $3$, anche y viene moltiplicata per $3$. Dire che y diventa un terzo descrive il verso dell'inversa. Aggiungere 3 unità confonde una variazione moltiplicativa con una variazione additiva. Lasciare y uguale farebbe cambiare il rapporto $\frac{y}{x}$.

5. Quale punto appartiene al grafico della relazione $y=3·x$?

   • A (3; 4)
   • B (4; 7)
   • C (4; 12)
   • D (0; 3)
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   Risposta giusta: C. (4; 12)

   Per il punto (4; 12) vale $12=3·4$, quindi appartiene al grafico. (3; 4) scambia le coordinate e non soddisfa $4=3·3$. In (4; 7) si è aggiunto 3 a 4 invece di moltiplicare. (0; 3) non può appartenere alla retta, perché per $x=0$ la formula dà $y=0$ e il grafico passa per l'origine.

6. Una tabella contiene le coppie (2; 8) e (5; 20). Se la relazione è direttamente proporzionale, quale valore di y corrisponde a $x=7$?

   • A $20$
   • B $25$
   • C $35$
   • D $28$
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   Risposta giusta: D. $28$

   Il rapporto costante è $\frac{8}{2}=4$, confermato da $\frac{20}{5}=4$; quindi $y=4·7=28$. $20$ ripete l'ultimo valore noto senza calcolare la nuova coppia. $25$ aggiunge 5 a 20, trattando i dati come una crescita additiva. $35$ usa per errore il fattore 5, ricavato dal valore di x della seconda coppia invece che dal rapporto $\frac{y}{x}$.

7. Tre chilogrammi di mele costano $\mathrm{7,50}$ €. Quanto costano cinque chilogrammi allo stesso prezzo al chilogrammo?

   • A $\mathrm{22,50}$ €
   • B $\mathrm{12,50}$ €
   • C $10$ €
   • D $15$ €
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   Risposta giusta: B. $\mathrm{12,50}$ €

   Un chilogrammo costa $\frac{\mathrm{7,50}}{3}=\mathrm{2,50}$ €, quindi cinque chilogrammi costano $\mathrm{2,50}·5=\mathrm{12,50}$ €. $\mathrm{22,50}$ € nasce dal moltiplicare il costo iniziale per 3 invece di trovare il prezzo unitario. $10$ € usa un prezzo unitario errato di 2 € al chilogrammo. $15$ € raddoppia il costo di tre chilogrammi, ma passare da 3 a 5 richiede il fattore $\frac{5}{3}$, non il fattore 2.

8. Quale caratteristica deve avere il grafico di una proporzionalità diretta?

   • A È una retta che passa per l'origine.
   • B È una curva che non passa per l'origine.
   • C È una retta orizzontale.
   • D Può essere qualunque linea crescente.
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   Risposta giusta: A. È una retta che passa per l'origine.

   Il grafico di $y=k·x$ è una retta passante per l'origine, perché quando $x=0$ anche $y=0$. Una curva che non passa per l'origine richiama spesso una relazione inversa o non proporzionale. Una retta orizzontale mantiene y costante e non conserva il rapporto $\frac{y}{x}$. Una linea solo crescente non basta: anche una crescita non costante può essere crescente senza essere direttamente proporzionale.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.