Grafici cartesiani: relazione tra due grandezze

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Nel grafico di una tabella il punto P ha coordinate P(4; 7). Che cosa indica?

   • A L'asse orizzontale vale 7 e quello verticale 4.
   • B Il punto è a 4 unità dall'origine.
   • C Al valore 4 della grandezza sull'asse orizzontale corrisponde 7 sull'asse verticale.
   • D Le due grandezze hanno entrambe valore 11.
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   Risposta giusta: C. Al valore 4 della grandezza sull'asse orizzontale corrisponde 7 sull'asse verticale.

   Nella coppia ordinata si legge prima il valore sull'asse orizzontale e poi quello sull'asse verticale: a 4 corrisponde 7. Scambiare i valori dà P(7; 4); considerare solo 4 ignora la seconda grandezza; 11 è soltanto la somma delle coordinate e non descrive il punto.

2. Seguendo la convenzione della lezione, se il numero di quaderni è la variabile indipendente, come si etichettano gli assi del grafico del costo totale?

   • A Asse orizzontale: numero di quaderni; asse verticale: costo totale.
   • B Asse orizzontale: costo totale; asse verticale: numero di quaderni.
   • C Entrambi gli assi: costo totale.
   • D Asse orizzontale: origine; asse verticale: numero di quaderni.
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   Risposta giusta: A. Asse orizzontale: numero di quaderni; asse verticale: costo totale.

   La variabile indipendente, qui il numero di quaderni, va sull'asse orizzontale; il costo dipende da quella scelta e va su quello verticale. Invertire gli assi non segue la convenzione fissata; ripetere il costo o usare «origine» come etichetta non indica le due grandezze.

3. A x = 1, 2, 3 corrispondono rispettivamente y = 4, 8, 12. Quale descrizione rappresenta correttamente il grafico, se la regola continua allo stesso modo?

   • A I punti (1; 4), (2; 6), (3; 8) stanno su una retta.
   • B I punti (1; 12), (2; 8), (3; 4) stanno su una curva decrescente.
   • C I punti hanno tutti ordinata 4.
   • D I punti (1; 4), (2; 8), (3; 12) stanno su una retta che passa per l'origine.
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   Risposta giusta: D. I punti (1; 4), (2; 8), (3; 12) stanno su una retta che passa per l'origine.

   In ogni riga il rapporto è $\frac{y}{x}=4$, quindi la relazione è $y=4·x$ e il suo grafico è una retta per l'origine. Le prime due descrizioni cambiano la regola dei dati; l'ultima alternativa sbagliata mantiene y costante invece di farla crescere con x.

4. Una tabella contiene le coppie (1; 12), (2; 6), (3; 4). Quale grafico ci si aspetta?

   • A Una retta crescente che passa per l'origine.
   • B Una curva decrescente nel primo quadrante che passa per quei punti e non per l'origine.
   • C Una retta orizzontale con y = 12.
   • D Una curva crescente che passa per l'origine.
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   Risposta giusta: B. Una curva decrescente nel primo quadrante che passa per quei punti e non per l'origine.

   Per ogni coppia vale $x·y=12$: il prodotto resta costante, quindi la relazione è inversamente proporzionale e il grafico è una curva decrescente. Una retta per l'origine descriverebbe una proporzionalità diretta; una retta orizzontale terrebbe y fisso; una curva crescente contraddice i dati.

5. Quale tabella non descrive una relazione di proporzionalità né diretta né inversa?

   • A x: 1, 2, 3; y: 2, 3, 4.
   • B x: 1, 2, 3; y: 5, 10, 15.
   • C x: 1, 2, 3; y: 18, 9, 6.
   • D x: 2, 4, 6; y: 3, 6, 9.
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   Risposta giusta: A. x: 1, 2, 3; y: 2, 3, 4.

   Nella prima tabella i rapporti $\frac{2}{1}$, $\frac{3}{2}$ e $\frac{4}{3}$ cambiano, e cambiano anche i prodotti: non è proporzionale. Nella seconda e nella quarta il rapporto è costante, quindi la relazione è diretta; nella terza il prodotto vale sempre 18, quindi è inversa.

6. Un grafico è una retta che passa per l'origine e contiene i punti (2; 10) e (4; 20). Che relazione mostra?

   • A Una relazione inversamente proporzionale con prodotto 20.
   • B Una relazione non proporzionale perché y cambia.
   • C Una relazione con y costante uguale a 5.
   • D Una relazione direttamente proporzionale con costante $k=5$.
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   Risposta giusta: D. Una relazione direttamente proporzionale con costante $k=5$.

   I rapporti sono $\frac{10}{2}=5$ e $\frac{20}{4}=5$: y è cinque volte x, quindi il grafico è una retta per l'origine di proporzionalità diretta. Il prodotto non è costante, perché vale 20 nella prima coppia e 80 nella seconda; y non è costante e il fatto che cambi non esclude la proporzionalità.

7. Sull'asse verticale sono segnati 0, 2, 4, 6 con intervalli uguali. Un punto è a metà tra 4 e 6. Qual è la sua ordinata?

   • A 4
   • B 5
   • C 6
   • D 10
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   Risposta giusta: B. 5

   Tra 4 e 6 ci sono 2 unità: a metà si trova $4+1=5$. Scegliere 4 o 6 significa prendere uno degli estremi, mentre 10 nasce dal sommare i due valori invece di leggere la scala.

8. I punti (0; 2), (1; 5) e (2; 8) sono allineati su una retta, ma la retta non passa per l'origine. Che cosa si può concludere?

   • A Sono grandezze direttamente proporzionali perché i punti sono allineati.
   • B Sono grandezze inversamente proporzionali perché y aumenta di 3.
   • C Non sono direttamente proporzionali: una retta di proporzionalità diretta deve passare per l'origine.
   • D Non esiste alcuna relazione tra le due grandezze.
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   Risposta giusta: C. Non sono direttamente proporzionali: una retta di proporzionalità diretta deve passare per l'origine.

   I punti seguono una regola lineare, ma la proporzionalità diretta richiede una retta passante per l'origine. Dire soltanto «sono allineati» dimentica questa condizione; l'inversa avrebbe una curva con prodotto costante; una relazione esiste, ma non è direttamente proporzionale.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.