Matematica · 2ª media · Capitolo

Proporzionalità e proporzioni

Riconoscere relazioni dirette e inverse, usare proporzioni e interpretare tabelle e grafici per risolvere problemi.

Di che cosa parla il capitolo

La proporzionalità descrive il legame fra due grandezze: non basta che cambino insieme, occorre una regola costante. Una proporzione confronta due rapporti uguali e permette di trovare un termine sconosciuto.

Nella proporzionalità diretta, se una grandezza raddoppia anche l'altra raddoppia: il rapporto $\frac{y}{x}$ resta costante e il grafico è una retta che passa per l'origine.
Nella proporzionalità inversa, se una grandezza raddoppia l'altra si dimezza: il prodotto $x \cdot y$ resta costante e il grafico è un'iperbole.
In $a : b = c : d$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , $a$ e $d$ sono estremi, $b$ e $c$ sono medi: i prodotti $a \cdot d$ e $b \cdot c$ sono uguali.

Il percorso porta a riconoscere il tipo di legame in tabelle, grafici e problemi concreti, poi a scegliere il calcolo adatto e a controllare se il risultato ha senso.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.

Quiz di fine capitolo

Quando due grandezze sono direttamente proporzionali?
- A La somma $x + y$ resta costante.
- B La differenza $y - x$ resta costante.
- C Basta che $y$ aumenti quando aumenta $x$ .
- D Il rapporto $\frac{y}{x}$ resta costante.
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Risposta giusta: D. Il rapporto $\frac{y}{x}$ resta costante.
Nella proporzionalità diretta ogni valore di $y$ si ottiene moltiplicando $x$ per la stessa costante, quindi $\frac{y}{x}$ non cambia. Una somma o una differenza costante descrive un altro tipo di legame; sapere soltanto che entrambe aumentano non garantisce che aumentino dello stesso fattore.
Otto volontari completano un lavoro in 6 ore. Se lavorano allo stesso ritmo, il numero di volontari e il tempo necessario sono grandezze...
- A inversamente proporzionali: il prodotto $8 \cdot 6$ rappresenta lo stesso lavoro.
- B direttamente proporzionali: aumentando i volontari aumentano anche le ore.
- C non proporzionali, perché cambiano due quantità.
- D direttamente proporzionali, perché il rapporto $\frac{8}{6}$ è fisso.
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Risposta giusta: A. inversamente proporzionali: il prodotto $8 \cdot 6$ rappresenta lo stesso lavoro.
Il lavoro totale resta lo stesso: $8 \cdot 6 = 48$ volontari-ore. Con più volontari servono meno ore, quindi la relazione è inversa. Le risposte dirette confondono il numero di persone con il lavoro prodotto; il rapporto iniziale da solo non dimostra una proporzionalità diretta.
Nella tabella, a x = 2, 4, 6 corrispondono y = 5, 10, 15. Quale conclusione è corretta?
- A Le grandezze sono inversamente proporzionali, perché i prodotti sono costanti.
- B Le grandezze sono direttamente proporzionali, perché la differenza è costante.
- C Le grandezze sono direttamente proporzionali, perché $\frac{y}{x} = \frac{5}{2}$ in ogni riga.
- D Le grandezze sono inversamente proporzionali, perché $y$ cresce quando cresce $x$ .
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Risposta giusta: C. Le grandezze sono direttamente proporzionali, perché $\frac{y}{x} = \frac{5}{2}$ in ogni riga.
I rapporti sono $\frac{5}{2}$ , $\frac{10}{4}$ e $\frac{15}{6}$ : sono tutti uguali a 2,5, quindi la costante è sempre la stessa. I prodotti sono invece $10$ , $40$ e $90$ , quindi non indicano una relazione inversa; anche le differenze $3$ , $6$ e $9$ non sono costanti.
In una relazione inversamente proporzionale, a $x = 3$ corrisponde $y = 24$ . Quale valore di $y$ corrisponde a $x = 6$ ?
- A $48$
- B $18$
- C $8$
- D $12$
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Risposta giusta: D. $12$
Il prodotto deve restare $3 \cdot 24 = 72$ . Perciò, con $x = 6$ , vale $y = \frac{72}{6} = 12$ . Il valore $48$ nasce dal raddoppiare anche $y$ come in una relazione diretta; $18$ deriva dalla sottrazione $24 - 6$ ; $8$ è $\frac{24}{3}$ e usa il primo rapporto invece del prodotto costante.
Completa la proporzione $3 : 12 = x : 20$ $\frac{3}{12} = \frac{x}{20}$ .
- A $80$
- B $5$
- C $15$
- D $60$
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Risposta giusta: B. $5$
I prodotti in croce danno $3 \cdot 20 = 12 \cdot x$ , cioè $60 = 12 x$ e quindi $x = 5$ . Il valore $80$ deriva dall'invertire una coppia e impostare $3 : 12 = 20 : x$ $\frac{3}{12} = \frac{20}{x}$ ; $15$ somma i primi termini; $60$ ferma il calcolo al prodotto senza dividere per 12.
Tre quaderni identici costano 9 euro. Quanto costano 7 quaderni?
- A 9 euro
- B 12 euro
- C 21 euro
- D 63 euro
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Risposta giusta: C. 21 euro
Un quaderno costa $\frac{9}{3} = 3$ euro; quindi 7 quaderni costano $3 \cdot 7 = 21$ euro. 9 euro lascia invariato il costo di tre quaderni, 12 aggiunge impropriamente il numero dei quaderni al prezzo e 63 moltiplica 9 per 7 senza prima trovare il valore unitario.
Quale grafico rappresenta una proporzionalità diretta?
- A Una retta che passa per l'origine.
- B Un'iperbole.
- C Una retta che non passa per l'origine.
- D Una linea formata da punti senza un andamento regolare.
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Risposta giusta: A. Una retta che passa per l'origine.
Nella proporzionalità diretta vale $y = k \cdot x$ : quando $x = 0$ anche $y = 0$ , perciò la retta passa per l'origine. L'iperbole rappresenta la proporzionalità inversa; una retta che non passa per l'origine ha un valore iniziale diverso da zero e non mantiene la forma $y = k \cdot x$ .
Quale coppia di grandezze non è, in generale, né direttamente né inversamente proporzionale?
- A Numero di confezioni identiche e prezzo totale a prezzo unitario fisso.
- B Età di una persona e sua altezza.
- C Numero di lavoratori e tempo per completare lo stesso lavoro.
- D Lato di un quadrato e suo perimetro.
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Risposta giusta: B. Età di una persona e sua altezza.
Età e altezza possono entrambe aumentare in alcuni periodi, ma non con un rapporto costante né con un prodotto costante. A prezzo unitario fisso, quantità e costo sono direttamente proporzionali; per un lavoro fisso, lavoratori e tempo sono inversamente proporzionali; il perimetro del quadrato è quattro volte il lato, quindi è una relazione diretta.

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