Matematica · 2ª media · Lezione 8 di 11

Esercitazione sulle proporzioni

Applicare la proprietà fondamentale per riconoscere, impostare, risolvere e verificare proporzioni in contesti diversi.

Teoria in pillole

Per lavorare con le proporzioni serve riconoscere rapporti equivalenti e mantenere nello stesso ordine le grandezze corrispondenti.

$a : b = c : x$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$

$x = b \cdot \frac{c}{a}$

a, b e c sono diversi da zero; x è il quarto termine

Applica la proprietà fondamentale: $a \cdot x = b \cdot c$ .
Dividi il prodotto $b \cdot c$ per a per isolare l'incognita.
Verifica il risultato nella proporzione iniziale.

Non esiste una formula unica basata su «tre termini noti»: il calcolo dipende dalla posizione occupata dall'incognita.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dalla proporzione, applica il prodotto in croce e controlla il risultato.

Mappa mentale: Esercitazione sulle proporzioni

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Simulazioni

Area giochi Proporzioni (PhET, sito esterno): Prova a risolvere configurazioni proporzionali variando di volta in volta il dato mancante e osserva come la stessa relazione sostiene strategie di calcolo diverse.

Domande

Completa la proporzione $3 : 4 = 12 : x$ $\frac{3}{4} = \frac{12}{x}$ .
- A 16
- B 9
- C 48
- D 7
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Risposta giusta: A. 16
Dalla proprietà fondamentale $3 \cdot x = 4 \cdot 12 = 48$ , quindi $x = \frac{48}{3} = 16$ . 9 nasce dalla sottrazione $12 - 3$ , 48 è il prodotto prima della divisione per 3 e 7 è la somma $3 + 4$ : nessuno di questi valori completa la proporzione.
Completa la proporzione $5 : 8 = x : 24$ $\frac{5}{8} = \frac{x}{24}$ .
- A 3
- B 15
- C 40
- D 29
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Risposta giusta: B. 15
Si ha $5 \cdot 24 = 8 \cdot x$ , dunque $x = \frac{120}{8} = 15$ . 3 deriva dal calcolo $24 : 8$ che trascura 5; 40 è il prodotto $5 \cdot 8$ e 29 la somma $24 + 5$ , ma serve il prodotto in croce seguito dalla divisione.
Quale uguaglianza è una proporzione vera?
- A $4 : 6 = 10 : 12$ $\frac{4}{6} = \frac{10}{12}$
- B $4 : 6 = 8 : 15$ $\frac{4}{6} = \frac{8}{15}$
- C $4 : 6 = 10 : 15$ $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$
- D $4 : 6 = 12 : 16$ $\frac{4}{6} = \frac{12}{16}$
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Risposta giusta: C. $4 : 6 = 10 : 15$ $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$
$4 : 6 = 10 : 15$ $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$ è vera perché $4 \cdot 15 = 6 \cdot 10 = 60$ . Nelle altre proposte i prodotti in croce sono 48 e 60, 60 e 48, 64 e 72: aver moltiplicato o cambiato soltanto alcuni termini non mantiene lo stesso rapporto.
Completa la proporzione $x : 7 = 18 : 21$ $\frac{x}{7} = \frac{18}{21}$ .
- A 6
- B 3
- C 126
- D 11
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Risposta giusta: A. 6
$x \cdot 21 = 7 \cdot 18 = 126$ , quindi $x = \frac{126}{21} = 6$ . 3 nasce dal dividere $21 : 7$ e dimenticare 18; 126 è il prodotto non ancora diviso e 11 deriva dalla sottrazione $18 - 7$ .
Per una ricetta, 4 torte richiedono 300 g di farina. Quale proporzione imposta correttamente la quantità x di farina per 10 torte, mantenendo l'ordine «torte : farina»?
- A $4 : 10 = x : 300$ $\frac{4}{10} = \frac{x}{300}$
- B $4 : 300 = 10 : x$ $\frac{4}{300} = \frac{10}{x}$
- C $300 : 4 = 10 : x$ $\frac{300}{4} = \frac{10}{x}$
- D $4 : 300 = x : 10$ $\frac{4}{300} = \frac{x}{10}$
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Risposta giusta: B. $4 : 300 = 10 : x$ $\frac{4}{300} = \frac{10}{x}$
La proporzione corretta è $4 : 300 = 10 : x$ $\frac{4}{300} = \frac{10}{x}$ : in entrambi i rapporti si confrontano prima le torte e poi la farina. Le altre scritture scambiano l'ordine in uno dei rapporti oppure pongono x nella posizione delle torte, perciò associano quantità non corrispondenti.
Completa la proporzione $6 : x = 15 : 20$ $\frac{6}{x} = \frac{15}{20}$ .
- A 6
- B 12
- C 5
- D 8
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Risposta giusta: D. 8
Dai prodotti in croce $6 \cdot 20 = 15 \cdot x$ , quindi $x = \frac{120}{15} = 8$ . 6 ripete un termine noto senza calcolare, 12 nasce dal dividere 120 per 10 invece che per 15 e 5 dalla differenza $20 - 15$ : la proprietà fondamentale richiede di dividere il prodotto per il termine che moltiplica x.
Tre bottiglie contengono 12 L di succo. Se il rapporto resta lo stesso, quanti litri contengono 9 bottiglie?
- A 4
- B 24
- C 36
- D 108
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Risposta giusta: C. 36
Da $3 : 12 = 9 : x$ $\frac{3}{12} = \frac{9}{x}$ si ottiene $3 \cdot x = 12 \cdot 9 = 108$ , quindi $x = 36$ L. 4 è il contenuto di una sola bottiglia, 24 deriva dal raddoppiare invece di triplicare 12 e 108 è il prodotto prima della divisione per 3.
Due metri di corda costano 7 €. Quanto costano 6 metri allo stesso prezzo al metro?
- A 14 €
- B 9 €
- C 12 €
- D 21 €
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Risposta giusta: D. 21 €
La proporzione $2 : 7 = 6 : x$ $\frac{2}{7} = \frac{6}{x}$ dà $2 \cdot x = 7 \cdot 6 = 42$ , quindi $x = 21$ €. 14 € nasce dal raddoppiare 7 invece di triplicarlo, 9 € dalla somma $7 + 2$ e 12 € dal prodotto $6 \cdot 2$ , che ignora il prezzo di 7 €.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.

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