La proporzionalità inversa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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1. Quale tabella descrive due grandezze inversamente proporzionali?

   • A $x$: 1, 2, 3; $y$: 3, 6, 9
   • B $x$: 1, 2, 3; $y$: 12, 6, 4
   • C $x$: 1, 2, 3; $y$: 10, 5, 3
   • D $x$: 1, 2, 3; $y$: 12, 8, 6
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   Risposta giusta: B. $x$: 1, 2, 3; $y$: 12, 6, 4

   Nella seconda tabella il prodotto $x·y$ vale sempre 12: $1·12$, $2·6$ e $3·4$. Nella prima resta costante il rapporto $\frac{y}{x}=3$, quindi è diretta. Nella terza i prodotti sono 10, 10 e 9: l'ultima coppia non conserva la costante. Nell'ultima i prodotti sono 12, 16 e 18: diminuire y non basta per avere un'inversa.

2. In una proporzionalità inversa, se $x=4$ e $y=15$, quale valore di y corrisponde a $x=10$?

   • A $5$
   • B $10$
   • C $15$
   • D $6$
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   Risposta giusta: D. $6$

   Il prodotto costante è $4·15=60$; per $x=10$ si ha $y=\frac{60}{10}=6$. $5$ nasce dal dividere 15 per 3 invece di usare il prodotto costante. $10$ copia il nuovo valore di x, confondendo le due grandezze. $15$ lascia y invariata, ma in una relazione inversa y deve diminuire quando x aumenta.

3. In una proporzionalità inversa, se x diventa tre volte più grande, che cosa accade a y?

   • A y diventa un terzo.
   • B Anche y diventa tre volte più grande.
   • C y aumenta di 3 unità.
   • D y resta uguale.
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   Risposta giusta: A. y diventa un terzo.

   Per conservare il prodotto, moltiplicare x per 3 richiede di dividere y per 3. Dire che anche y triplica descrive il comportamento di una proporzionalità diretta. Aggiungere 3 unità sostituisce una variazione moltiplicativa con una additiva. Lasciare y uguale farebbe triplicare il prodotto $x·y$.

4. Quale descrizione corrisponde al grafico di una proporzionalità inversa?

   • A Una retta che passa per l'origine.
   • B Un'iperbole che non passa per l'origine.
   • C Una retta orizzontale.
   • D Una retta crescente che non passa per l'origine.
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   Risposta giusta: B. Un'iperbole che non passa per l'origine.

   Il grafico di $y=\frac{k}{x}$ è un'iperbole e non passa per l'origine, perché per $x=0$ la divisione non è definita. La retta per l'origine è il grafico della proporzionalità diretta. Una retta orizzontale mantiene y costante e non il prodotto. Una retta crescente non rappresenta il fatto che, nell'inversa, y diminuisce quando x aumenta.

5. Tre stampanti completano un lavoro in 12 minuti, quattro in 9 minuti e sei in 6 minuti. In quanti minuti lo completano otto stampanti uguali?

   • A 3 minuti
   • B 8 minuti
   • C $\mathrm{4,5}$ minuti
   • D 16 minuti
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   Risposta giusta: C. $\mathrm{4,5}$ minuti

   Il prodotto stampanti · minuti è costante e vale $3·12=36$; con 8 stampanti servono $\frac{36}{8}=\mathrm{4,5}$ minuti. 3 minuti nasce dalla sottrazione $12-\left(6-3\right)$, che non conserva il prodotto. 8 minuti copia il numero di stampanti invece di calcolare il tempo. 16 minuti deriva da una proporzione diretta, per esempio $12·\frac{8}{6}$, e farebbe aumentare il tempo aumentando le stampanti.

6. Quale frase descrive correttamente una proporzionalità inversa?

   • A Se x raddoppia, anche y raddoppia.
   • B Se x aumenta di 2, y diminuisce sempre di 2.
   • C Se x aumenta, y non cambia.
   • D Se x raddoppia, y si dimezza.
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   Risposta giusta: D. Se x raddoppia, y si dimezza.

   Se x raddoppia, y deve dimezzarsi per lasciare invariato il prodotto $x·y$. La prima frase descrive una relazione diretta. La seconda confonde l'inversa con una diminuzione additiva fissa: il cambiamento dipende dal valore di partenza. La terza lascia y costante e quindi non compensa l'aumento di x.

7. Se $x·y=24$ e $x=6$, quanto vale y?

   • A $4$
   • B $30$
   • C $6$
   • D $18$
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   Risposta giusta: A. $4$

   Si divide la costante per x: $y=\frac{24}{6}=4$. $30$ nasce dalla somma $24+6$, mentre la regola richiede una divisione. $6$ ripete il valore di x e ignora il prodotto costante. $18$ nasce dalla sottrazione $24-6$, che non verifica $6·18=24$.

8. Cinque operai uguali terminano un lavoro in 21 giorni. In quanti giorni lo terminano sette operai uguali?

   • A 5 giorni
   • B 21 giorni
   • C 15 giorni
   • D 147 giorni
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   Risposta giusta: C. 15 giorni

   Operai e giorni sono inversamente proporzionali: il lavoro vale $5·21=105$ operaio-giorni; con 7 operai i giorni sono $\frac{105}{7}=15$. 5 giorni copia il numero degli operai invece di trovare il tempo. 21 giorni lascia invariato il tempo nonostante il gruppo sia più numeroso. 147 giorni è il prodotto $7·21$, ma il prodotto va diviso per il numero di operai, non presentato come numero di giorni.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.