Riconoscere relazioni di proporzionalità

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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• Costruisci una funzione: introduzione (PhET, sito esterno): Prova ad aumentare l'ingresso con passi regolari nella macchina e osserva come le uscite rivelano se la variazione segue una regola costante.
• Rapporti e proporzioni (PhET, sito esterno): Prova a far crescere le coppie di quantità con passi regolari e osserva come il rapporto costante conferma la proporzionalità diretta.

1. I dati x = 2, 3, 5 e y = 6, 9, 15 descrivono quale relazione?

   • A Inversa, perché x e y cambiano.
   • B Non proporzionale, perché i numeri non aumentano dello stesso numero.
   • C Non si può stabilire senza un grafico.
   • D Direttamente proporzionale, perché $\frac{y}{x}=3$ in ogni coppia.
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   Risposta giusta: D. Direttamente proporzionale, perché $\frac{y}{x}=3$ in ogni coppia.

   I rapporti sono $\frac{6}{2}=3$, $\frac{9}{3}=3$ e $\frac{15}{5}=3$: il rapporto costante prova la proporzionalità diretta. Una relazione inversa richiederebbe un prodotto costante, non solo due grandezze che cambiano; l'aumento per somme non è il test richiesto; il grafico può aiutare ma i dati bastano già per calcolare i rapporti.

2. I dati x = 2, 4, 8 e y = 24, 12, 6 descrivono quale relazione?

   • A Direttamente proporzionale, perché i valori sono tutti positivi.
   • B Inversamente proporzionale, perché $x·y=48$ in ogni coppia.
   • C Non proporzionale, perché y diminuisce.
   • D Una relazione senza regola.
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   Risposta giusta: B. Inversamente proporzionale, perché $x·y=48$ in ogni coppia.

   I prodotti sono $2·24=48$, $4·12=48$ e $8·6=48$: il prodotto costante indica proporzionalità inversa. Il fatto che i valori siano positivi non basta per la diretta; y che diminuisce è solo un indizio, mentre qui la prova è il prodotto; i dati seguono quindi una regola precisa.

3. Per x = 1, 2, 3 si ottiene y = 3, 5, 7. Quale conclusione è corretta?

   • A È diretta, perché y aumenta di 2.
   • B È inversa, perché i rapporti diminuiscono.
   • C Non è proporzionale, perché cambiano sia i rapporti sia i prodotti.
   • D È diretta con costante 2.
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   Risposta giusta: C. Non è proporzionale, perché cambiano sia i rapporti sia i prodotti.

   I rapporti sono $\frac{3}{1}=3$, $\frac{5}{2}=\mathrm{2,5}$ e $\frac{7}{3}$, quindi non sono costanti; anche i prodotti 3, 10 e 21 cambiano. Aggiungere sempre 2 costruisce una relazione lineare, ma non necessariamente proporzionale; una proporzionalità inversa richiederebbe prodotti uguali; 2 è la variazione additiva, non una costante di proporzionalità.

4. In una tabella per il test dello scalino compare la coppia $x=0$, $y=0$. Come si controlla la proporzionalità diretta?

   • A Si calcolano i rapporti nelle coppie con x diverso da zero e non si divide $\frac{0}{0}$.
   • B Si considera $\frac{0}{0}=0$ e si confronta con gli altri rapporti.
   • C Si conclude subito che la relazione è inversa.
   • D Si elimina tutta la tabella, perché contiene uno zero.
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   Risposta giusta: A. Si calcolano i rapporti nelle coppie con x diverso da zero e non si divide $\frac{0}{0}$.

   Il rapporto $\frac{y}{x}$ non è definito quando $x=0$, quindi si usano le altre coppie della tabella. Attribuire valore zero a $\frac{0}{0}$ è scorretto; la presenza dello zero non dimostra una relazione inversa; le altre righe restano dati validi per il controllo.

5. Se x raddoppia da 4 a 8 e y si dimezza da 12 a 6, quale controllo conferma il tipo di relazione?

   • A Verificare che $\frac{y}{x}$ aumenti.
   • B Verificare che $x·y$ resti uguale.
   • C Verificare che $x+y$ resti uguale.
   • D Verificare che y aumenti insieme a x.
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   Risposta giusta: B. Verificare che $x·y$ resti uguale.

   I prodotti sono $4·12=48$ e $8·6=48$: il prodotto costante conferma una proporzionalità inversa. Il rapporto costante serve alla diretta; le somme non sono il criterio del test; qui y diminuisce quando x aumenta, non cresce insieme a x.

6. Nella tabella x = 3, 6, 9 e y = 4, 8, 12, qual è la costante della proporzionalità diretta?

   • A $\frac{3}{4}$
   • B $2$
   • C $12$
   • D $\frac{4}{3}$
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   Risposta giusta: D. $\frac{4}{3}$

   La costante è $\frac{y}{x}$: $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}=\frac{12}{9}$. $\frac{3}{4}$ è il rapporto inverso $\frac{x}{y}$; 2 è il fattore con cui passano da una riga alla successiva, non il rapporto tra y e x; 12 è soltanto l'ultimo valore di y.

7. Nella tabella x = 5, 10, 20 e y = 12, 6, 3, quale numero rimane costante?

   • A $\frac{12}{5}$
   • B $17$
   • C $60$
   • D $5$
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   Risposta giusta: C. $60$

   I prodotti sono $5·12=60$, $10·6=60$ e $20·3=60$: la costante della relazione inversa è 60. $\frac{12}{5}$ è solo il primo rapporto e cambia nelle altre righe; 17 è la somma della prima coppia; 5 è il primo valore di x, non un valore verificato in ogni coppia.

8. Quale tabella descrive una relazione non proporzionale?

   • A x = 1, 2, 3; y = 2, 4, 5
   • B x = 2, 4, 8; y = 16, 8, 4
   • C x = 2, 3, 4; y = 6, 9, 12
   • D x = 1, 2, 3; y = 5, 10, 15
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   Risposta giusta: A. x = 1, 2, 3; y = 2, 4, 5

   Nella prima tabella i rapporti sono 2, 2 e $\frac{5}{3}$, mentre i prodotti sono 2, 8 e 15: nessuno dei due controlli resta costante. La seconda ha prodotto costante 32, quindi è inversa; la terza ha rapporto costante 3 e la quarta rapporto costante 5, quindi sono dirette.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra della Proporzionalità: Sei livelli su rapporti, valore unitario, tabelle, proporzioni, relazioni dirette e inverse, grafici e problemi in scala.