Matematica · 3ª media · Lezione 2 di 4

Confronto tra numeri relativi

Confrontare e ordinare numeri relativi usando la retta, il segno e il valore assoluto; riconoscere numeri concordi, discordi e opposti.

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Teoria in pillole

Come si decide quale numero relativo è maggiore? Su una retta orientata con verso positivo verso destra, fra due numeri distinti è maggiore quello che si trova più a destra. Per capire i casi servono il segno e il valore assoluto.

Valore assoluto: distanza da zero

Il valore assoluto di un numero è la sua distanza dallo zero sulla retta. Una distanza è sempre positiva o nulla.

$| - 4 | = 4$

$| + 4 | = 4$

$| 0 | = 0$

Il segno dice da che parte si trova il numero; il valore assoluto dice quanto dista dallo zero. Per un positivo o per zero è il numero stesso; per un negativo si cambia il segno.

Numeri opposti

Due numeri non nulli sono opposti se hanno segni diversi e lo stesso valore assoluto.

$| - 3 | = | + 3 |$

Si trovano da parti opposte rispetto allo zero, alla stessa distanza. L’opposto si ottiene cambiando il segno: l’opposto di

- 3

+ 3

. Lo zero è opposto di sé stesso.

Numeri concordi

Due numeri diversi da zero sono concordi se hanno lo stesso segno.

$- 2 > - 6$

- 6

- 2

sono entrambi negativi. Anche

+ 2

+ 7

sono concordi: sono entrambi positivi.

Numeri discordi

Due numeri diversi da zero sono discordi se hanno segni diversi.

$+ 1 > - 7$

- 7

+ 1

sono discordi, ma non opposti: le distanze dallo zero sono diverse. Lo zero non è né positivo né negativo, quindi con lo zero non si usa la distinzione concordi/discordi.

Confrontare due positivi

Tra due positivi, è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore.

$+ 7 > + 2$

Il punto

+ 7

segue il punto

+ 2

nel verso positivo della retta. Nei confronti il segno > significa «maggiore di», il segno < significa «minore di».

Confrontare due negativi

Tra due negativi, è maggiore quello che ha il valore assoluto minore.

$- 2 > - 6$

- 2

è più vicino allo zero e più a destra di

- 6

. Il valore assoluto di

- 6

è maggiore, ma il numero

- 6

è minore.

Segni diversi e zero

Ogni positivo è maggiore di ogni negativo. Lo zero è maggiore di tutti i negativi e minore di tutti i positivi.

$+ 2 > 0$

$0 > - 4$

$+ 2 > - 4$

Lo zero separa i numeri negativi dai positivi. Non serve confrontare le distanze: prima si guardano i segni.

Numeri uguali

Due numeri sono uguali quando rappresentano lo stesso punto, anche se hanno scritture diverse.

$- \frac{3}{2} = - 1,5$

Per trasformare una frazione in decimale si divide il numeratore per il denominatore. Le due scritture qui danno la stessa ascissa: non ci sono due punti diversi.

Il criterio vale anche per i decimali: $- 2,3 > - 2,7$ , perché fra due negativi il maggiore è quello più vicino allo zero.
Ordine crescente: dal minore al maggiore, come $- 6$ , $- 2$ , $0$ , $3$ . Ordine decrescente: dal maggiore al minore, come $3$ , $0$ , $- 2$ , $- 6$ . Si segue la retta verso destra per il crescente, verso sinistra per il decrescente.

«Più lontano da zero» non significa sempre «maggiore». Per esempio $| - 6 | > | - 2 |$ , ma $- 2 > - 6$ . Non confrontare $6$ e $2$ dimenticando i segni: prima individua il caso, poi applica la regola.

La mappa

Sintesi dei casi con esempi. Apri la mappa completa per seguire tutti i rami.

Mappa mentale: Confronto tra numeri relativi

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Simulazioni

Confronto sulla retta dei numeri relativi: Muovi due numeri, osserva quale è maggiore e confronta le loro distanze da zero. Prova anche gli opposti e i numeri uguali.
Palestra dei numeri relativi: Da soli, con carta e penna: valore assoluto, opposti e confronto, con i numeri che scegli tu. Il primo giro fa il punto, quelli dopo si concentrano dove serve.

Domande

Quanto vale $| - 6,4 |$ ?
- A $- 6,4$
- B $0$
- C $6,4$
- D $64$
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Risposta giusta: C. $6,4$
Il valore assoluto è la distanza dallo zero: $| - 6,4 | = 6,4$ . $- 6,4$ conserva il segno dell’ascissa, ma una distanza non è negativa. $0$ sarebbe la distanza di zero da sé stesso. $64$ elimina anche la virgola e cambia il valore: si deve cambiare solo il segno.
Quale coppia è formata da numeri concordi?
- A $- 8$ e $- 3$
- B $- 8$ e $+ 3$
- C $0$ e $+ 3$
- D $- 8$ e $+ 8$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $- 8$ e $- 3$
$- 8$ e $- 3$ sono concordi perché entrambi negativi. $- 8$ e $+ 3$ hanno segni diversi, quindi sono discordi. Lo zero non è positivo né negativo: la coppia con zero non è concorde. $- 8$ e $+ 8$ sono opposti, quindi hanno segni diversi e sono discordi.
Qual è l’opposto di $- 2,5$ ?
- A $- 2,5$
- B $- 0,4$
- C $0$
- D $+ 2,5$
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Risposta giusta: D. $+ 2,5$
L’opposto di $- 2,5$ è $+ 2,5$ : stesso valore assoluto e segno cambiato. $- 2,5$ è il numero di partenza. $- 0,4$ si ottiene facendo $1 : (- 2,5)$ : è il reciproco, non l’opposto. Lo zero non ha la stessa distanza dall’origine di $- 2,5$ .
Quale confronto tra due numeri positivi è corretto?
- A $+ 1,4 > + 1,9$
- B $+ 1,9 > + 1,4$
- C $+ 1,4 = + 1,9$
- D $+ 1,9 < 0$
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Risposta giusta: B. $+ 1,9 > + 1,4$
$+ 1,9 > + 1,4$ : entrambi sono positivi e $1,9$ ha il valore assoluto maggiore. Invertire il confronto applica ai positivi la regola dei negativi. Non sono uguali: la cifra dei decimi cambia e i punti sono distinti. $+ 1,9 < 0$ confonde il segno: un positivo è sempre maggiore di zero.
Qual è il maggiore tra $- 9$ e $- 4$ ?
- A $- 4$
- B $- 9$
- C Sono uguali
- D $+ 9$
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Risposta giusta: A. $- 4$
Il maggiore è $- 4$ , perché è più vicino a zero e segue $- 9$ nel verso positivo. Scegliere $- 9$ significa confrontare le distanze $9$ e $4$ dimenticando che entrambi i numeri sono negativi. Non sono uguali: occupano punti diversi. $+ 9$ è l’opposto di uno dei numeri, ma non è tra i due numeri da confrontare.
Quale elenco mette $- 8$ , $0$ e $+ 1$ in ordine crescente?
- A $+ 1$ , $0$ , $- 8$
- B $0$ , $- 8$ , $+ 1$
- C $- 8$ , $0$ , $+ 1$
- D $0$ , $+ 1$ , $- 8$
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Risposta giusta: C. $- 8$ , $0$ , $+ 1$
L’ordine crescente è $- 8$ , $0$ , $+ 1$ : negativo, zero, positivo. $+ 1$ , $0$ , $- 8$ è invece l’ordine decrescente. $0$ , $- 8$ , $+ 1$ mette lo zero prima di un negativo, ma zero è maggiore di ogni negativo. $0$ , $+ 1$ , $- 8$ ordina le distanze $0$ , $1$ , $8$ e perde i segni.
Come si confrontano $- \frac{6}{5}$ e $- 1,2$ ?
- A $- \frac{6}{5} > - 1,2$
- B $- \frac{6}{5} = - 1,2$
- C $- \frac{6}{5} < - 1,2$
- D Non si possono confrontare frazioni e decimali
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Risposta giusta: B. $- \frac{6}{5} = - 1,2$
Sono uguali: dividendo $- 6$ per $5$ si ottiene $- 1,2$ . Le due scritture rappresentano lo stesso punto. Scegliere maggiore o minore tratta la diversa scrittura come se indicasse una diversa ascissa. Frazioni e decimali si possono confrontare: sono numeri e possono occupare lo stesso punto.
Quale elenco è in ordine crescente?
- A $- 1,6$ , $- 3,2$ , $0$ , $+ 0,5$
- B $0$ , $+ 0,5$ , $- 1,6$ , $- 3,2$
- C $+ 0,5$ , $0$ , $- 1,6$ , $- 3,2$
- D $- 3,2$ , $- 1,6$ , $0$ , $+ 0,5$
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Risposta giusta: D. $- 3,2$ , $- 1,6$ , $0$ , $+ 0,5$
Si parte dal più piccolo: $- 3,2$ , poi $- 1,6$ , poi zero e infine $+ 0,5$ . Il primo elenco inverte i due negativi, confrontandoli come positivi. Il secondo ordina i valori assoluti $0$ , $0,5$ , $1,6$ , $3,2$ ma perde i segni. Il terzo è corretto per l’ordine decrescente, non per quello richiesto.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei numeri relativi: Da soli, con carta e penna: segno e confronto, le quattro operazioni, potenze, notazione scientifica, radici ed espressioni. Prima scegli i numeri (interi, decimali, periodici, frazioni) e gli argomenti.

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