I numeri positivi e i numeri negativi

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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• La retta dei numeri relativi: sei tappe guidate, dal termometro agli insiemi numerici, poi una prova finale con punteggio e la retta da esplorare liberamente.
• Palestra dei numeri relativi: Da soli, con carta e penna: valore assoluto, opposti e confronto, con i numeri che scegli tu. Il primo giro fa il punto, quelli dopo si concentrano dove serve.

1. Che cosa si può dire dello zero?

   • A È positivo, perché si scrive senza segno
   • B È negativo, perché sulla retta viene prima dei positivi
   • C Non è né positivo né negativo
   • D È sia positivo sia negativo, perché si può scrivere $+0$ e $-0$
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   Risposta giusta: C. Non è né positivo né negativo

   I positivi sono maggiori di zero e i negativi minori: lo zero non è né l'uno né l'altro, ed è il punto che li separa sulla retta, l'origine. Chi lo crede positivo confonde una regola di scrittura (davanti ai positivi di solito il segno non si scrive) con la definizione: lo zero si scrive senza segno perché non ne ha. Venire prima dei positivi non basta per essere negativo: i negativi vengono prima dello zero.

2. Nella scrittura $-7$, che cosa indica il segno meno?

   • A Che il numero è negativo, cioè minore di zero
   • B Che da qualcosa bisogna togliere $7$
   • C Che il numero si trova dopo lo zero nel verso positivo
   • D Che il numero non è intero
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   Risposta giusta: A. Che il numero è negativo, cioè minore di zero

   Davanti a un numero il segno dice da che parte dello zero si trova: $-7$ è un numero negativo, che precede lo zero di sette unità. Non indica un'operazione: chi pensa a togliere $7$ legge il segno come una sottrazione, ma qui non c'è nessun numero da cui togliere. Dopo lo zero, nel verso positivo, stanno i positivi; e $-7$ è un intero, come $7$.

3. Una città fu fondata nel $753$ a.C. Sulla linea del tempo l'origine è la nascita di Cristo e il verso positivo va verso il presente. Con quale numero si indica quella data?

   • A $+753$
   • B $1273$
   • C $-1273$
   • D $-753$
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   Risposta giusta: D. $-753$

   Avanti Cristo vuol dire prima dell'origine, quindi il numero è negativo: $-753$. Con $+753$ si indicherebbe il $753$ dopo Cristo. $1273$ e $-1273$ vengono dalla differenza $2026-753$, che conta quanti anni sono passati fino a oggi: è un'altra domanda, perché l'origine di questa retta non è l'anno in corso.

4. Su una retta orientata lo $0$ sta nell'origine e le tacche vanno di $10$ in $10$. Il punto P sta sulla terza tacca a sinistra dello zero, e il verso positivo va verso destra. Qual è l'ascissa di P?

   • A $-3$
   • B $30$
   • C $-20$
   • D $-30$
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   Risposta giusta: D. $-30$

   Ogni tacca vale $10$ unità e P sta a sinistra dello zero: tre tacche fanno $3·10=30$ unità nel verso opposto a quello positivo, quindi l'ascissa è $-30$. Chi risponde $-3$ ha contato le tacche senza guardare quanto vale ciascuna; chi risponde $-20$ ha contato lo zero come prima tacca; $30$ ha la distanza giusta ma il segno della parte sbagliata.

5. Su una retta con unità di misura $1$, dove si trova il punto di ascissa $-\mathrm{2,5}$?

   • A A metà fra $2$ e $3$
   • B A metà fra $-3$ e $-2$
   • C A metà fra $-2$ e $-1$
   • D Sulla tacca di $-2$
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   Risposta giusta: B. A metà fra $-3$ e $-2$

   Dall'origine ci si sposta di due unità e mezza nel verso opposto a quello positivo: si supera $-2$ e ci si ferma a metà strada prima di $-3$. Chi sceglie fra $-2$ e $-1$ si è spostato di mezza unità verso lo zero invece che lontano dallo zero; fra $2$ e $3$ c'è $+\mathrm{2,5}$, con il segno sbagliato; sulla tacca di $-2$ si perde la parte decimale.

6. Quale di questi numeri appartiene a $\mathrm{\mathbb{Z}}$ ma non a $\mathrm{\mathbb{N}}$?

   • A $-6$
   • B $0$
   • C $-\frac{3}{4}$
   • D $12$
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   Risposta giusta: A. $-6$

   $\mathrm{\mathbb{Z}}$ contiene gli interi positivi, lo zero e gli interi negativi; $\mathrm{\mathbb{N}}$ solo lo zero e gli interi positivi. Quindi un numero che sta in $\mathrm{\mathbb{Z}}$ e non in $\mathrm{\mathbb{N}}$ è un intero negativo, come $-6$. Lo zero è un numero naturale; $12$ sta in tutti e due; $-\frac{3}{4}$ è negativo ma non è intero: sta in $\mathrm{\mathbb{Q}}$, non in $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

7. Quale affermazione è vera?

   • A Ogni numero razionale è anche intero
   • B $\mathrm{\mathbb{N}}$ contiene anche gli interi negativi
   • C Ogni numero intero è anche razionale
   • D $\sqrt{2}$ è razionale, perché vale $\mathrm{1,41}$
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   Risposta giusta: C. Ogni numero intero è anche razionale

   Ogni intero si scrive come frazione con denominatore $1$ (per esempio $-5=-\frac{5}{1}$), quindi $\mathrm{\mathbb{Z}}$ è contenuto in $\mathrm{\mathbb{Q}}$. Il contrario non vale: $\frac{3}{4}$ è razionale ma non intero. $\mathrm{\mathbb{N}}$ contiene solo lo zero e gli interi positivi. E $\sqrt{2}$ non vale $\mathrm{1,41}$: $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$ è solo un valore approssimato, perché le sue cifre decimali continuano senza mai ripetersi; per questo è irrazionale.

8. Il punto Q ha ascissa $-\frac{7}{4}$. Fra quali interi consecutivi si trova?

   • A Fra $1$ e $2$
   • B Fra $-2$ e $-1$
   • C Fra $-8$ e $-7$
   • D Fra $-1$ e $0$
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   Risposta giusta: B. Fra $-2$ e $-1$

   $\frac{7}{4}=\mathrm{1,75}$, quindi $-\frac{7}{4}=-\mathrm{1,75}$: un'unità e tre quarti a sinistra dello zero, fra $-2$ e $-1$. Fra $1$ e $2$ c'è $+\frac{7}{4}$, con il segno sbagliato; fra $-8$ e $-7$ si arriva guardando solo il numeratore; fra $-1$ e $0$ stanno le frazioni negative con il numeratore minore del denominatore, e $\frac{7}{4}$ non lo è.

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

• Palestra dei numeri relativi: Da soli, con carta e penna: segno e confronto, le quattro operazioni, potenze, notazione scientifica, radici ed espressioni. Prima scegli i numeri (interi, decimali, periodici, frazioni) e gli argomenti.