Matematica · 1ª media · Lezione 3 di 9

Approssimare numeri decimali

Confronta troncamento e arrotondamento sulla retta; scegli la precisione e la direzione adatte, gestendo metà, zeri e riporti.

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Teoria in pillole

Approssimare significa sostituire un numero con un valore vicino, scegliendo la precisione o rispettando la richiesta del problema. Arrotondare è un metodo di approssimazione: si sceglie il valore più vicino alla posizione richiesta. Qui consideriamo numeri non negativi.

Scegli dove fermarti

Alle unità non conservi cifre decimali; ai decimi ne conservi una, ai centesimi due, ai millesimi tre. Poi decidi quale metodo usare.

Troncamento, difetto ed eccesso

Troncare significa eliminare le cifre dopo la posizione scelta senza aumentare l’ultima conservata. Ai centesimi, $4,376$ troncato dà $4,37$ .

Alla stessa precisione i due valori vicini sono $4,37$ per difetto, minore del numero iniziale, e $4,38$ per eccesso, maggiore. Con numeri non negativi il troncamento dà sempre il valore per difetto. Se il numero è già esatto alla precisione scelta, troncamento, difetto ed eccesso danno lo stesso numero.

Arrotondamento: prima cifra da eliminare da 0 a 4

La cifra conservata resta uguale; si eliminano le successive. Il risultato è minore del numero: è un arrotondamento per difetto. Ai centesimi:

$4,374 \approx 4,37$

Il millesimo è $4$ . La distanza da $4,37$ è $0,004$ ; da $4,38$ è $0,006$ : scegli il più vicino.

Arrotondamento: prima cifra da eliminare da 5 a 9

La cifra conservata aumenta di uno; si eliminano le successive. Il risultato è maggiore del numero: è un arrotondamento per eccesso. Ai centesimi:

$4,376 \approx 4,38$

Il millesimo è $6$ . La distanza da $4,38$ è $0,004$ , minore di quella da $4,37$ , che è $0,006$ .

Il caso esattamente a metà

Ai decimi, $1,25$ dista $0,05$ sia da $1,2$ sia da $1,3$ . Per convenzione si sceglie il maggiore:

$1,25 \approx 1,3$

Il riporto e gli zeri finali

Ai decimi, in $9,96$ la prima cifra eliminata è $6$ : il decimo deve aumentare. Aggiungendo un decimo a $9,9$ si ottiene:

$9,96 \approx 10,0$

Lo zero finale mostra che abbiamo scritto il risultato ai decimi. Se le cifre eliminate sono tutte zero, il valore resta esatto:

$6,7000 = 6,70$

Qui non si sceglie né un valore minore né uno maggiore.

Il simbolo ≈ si legge «circa uguale». Quando il valore non cambia si può scrivere =.
Il problema decide: servono $3,12$ L di vernice, in barattoli da $1$ L. Devi comprare $4$ barattoli: $3$ non bastano, anche se è il numero intero più vicino. Qui serve il valore per eccesso.
Un nastro lungo $3,87$ m permette di ricavare al massimo $3$ pezzi interi da $1$ m (senza scarti di taglio). Qui serve il valore per difetto: $4$ pezzi richiederebbero più nastro.

Parti sempre dal numero iniziale. Per arrotondare $4,149$ ai decimi guarda il $4$ dei centesimi: ottieni $4,1$ . Se prima arrotondi ai centesimi ottieni $4,15$ e poi $4,2$ : il doppio arrotondamento ha cambiato il risultato. Non guardare l’ultima cifra e non confondere troncamento con arrotondamento.

La mappa

Dalla precisione alla scelta del metodo: regole, metà, riporto e decisioni nei problemi.

Mappa mentale: Approssimare numeri decimali

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Simulazioni

Quanto vicino? Approssimazione dei decimali: Esplora la retta e confronta quattro metodi, poi affronta otto sfide senza tempo limite.

Domande

Qual è la differenza tra troncamento e arrotondamento?
- A Sono sempre identici.
- B Il troncamento aumenta sempre la cifra conservata.
- C Il troncamento elimina le cifre successive; l’arrotondamento sceglie il valore più vicino alla posizione richiesta.
- D L’arrotondamento sceglie sempre un valore maggiore.
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Risposta giusta: C. Il troncamento elimina le cifre successive; l’arrotondamento sceglie il valore più vicino alla posizione richiesta.
Troncando non aumenti la cifra conservata. Arrotondando scegli il più vicino: per esempio, ai centesimi $4,376$ dà $4,37$ con il troncamento e $4,38$ con l’arrotondamento.
Tronca $8,376$ ai centesimi.
- A $8,37$
- B $8,38$
- C $8,3$
- D $8,4$
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Risposta giusta: A. $8,37$
Elimina le cifre dopo i centesimi senza aumentare il $7$ : ottieni $8,37$ . $8,38$ è invece l’arrotondamento al centesimo.
Arrotonda $4,783$ ai centesimi.
- A $4,79$
- B $4,8$
- C $4,7$
- D $4,78$
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Risposta giusta: D. $4,78$
Il millesimo è $3$ , minore di $5$ : il centesimo resta $8$ . $4,8$ è l’arrotondamento ai decimi e risponde a una richiesta diversa.
Arrotonda $6,275$ ai centesimi.
- A $6,27$
- B $6,28$
- C $6,2$
- D $6,275$
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Risposta giusta: B. $6,28$
Il numero è a metà tra $6,27$ e $6,28$ . Per convenzione scegli il maggiore: $6,28$ .
Ai centesimi, quale scrittura è corretta?
- A $5,430 = 5,43$
- B $5,437 = 5,44$
- C $5,437 \approx 5,43$
- D $5,430 \approx 5,44$
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Risposta giusta: A. $5,430 = 5,43$
Lo zero ai millesimi non cambia il valore: $5,430$ e $5,43$ sono uguali, quindi si usa il simbolo uguale. $5,437$ ai centesimi diventa $5,44$ , ma il valore cambia: si scrive $5,437 \approx 5,44$ .
Arrotonda direttamente $4,149$ ai decimi.
- A $4,2$
- B $4,15$
- C $4,1$
- D $4,14$
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Risposta giusta: C. $4,1$
La prima cifra eliminata è il $4$ dei centesimi, quindi ottieni $4,1$ . $4,2$ può nascere da due arrotondamenti successivi: ai centesimi $4,15$ , poi ai decimi $4,2$ .
Servono $3,12$ L di vernice. Ogni barattolo contiene $1$ L. Quanti barattoli interi devi comprare?
- A $3$
- B $4$
- C $3,12$
- D $5$
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Risposta giusta: B. $4$
Tre barattoli contengono $3$ L: non bastano. Quattro contengono $4$ L e sono il minimo necessario. La domanda richiede una scelta per eccesso.
Arrotonda $9,96$ ai decimi.
- A $9,9$
- B $9,10$
- C $10,9$
- D $10,0$
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Risposta giusta: D. $10,0$
Il centesimo è $6$ : aggiungi un decimo a $9,9$ e ottieni $10,0$ . Il riporto attraversa il $9$ dei decimi; lo zero finale mostra la posizione richiesta.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra dei Numeri Decimali: Sei livelli ricavati dalla Palestra di Aritmetica: decimi e centesimi, decimali nelle misure, confronto e ordinamento, scrittura polinomiale e arrotondamento.

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