Matematica · 1ª media · Lezione 1 di 7

Insiemi per classificare

Distinguere un insieme da un raggruppamento qualsiasi: il criterio deve permettere di decidere con certezza chi ci sta dentro.

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Teoria in pillole

Raggruppare vuol dire mettere insieme gli oggetti che hanno una stessa caratteristica. In matematica un raggruppamento si chiama insieme solo a una condizione: di ogni oggetto si deve poter dire con certezza se ci sta dentro oppure no. Gli oggetti che lo formano sono i suoi elementi.

Criterio certo: è un insieme

Gli alunni della classe alti più di $160$ cm.

si misura, e chiunque misuri ottiene la stessa risposta

Criterio incerto: non è un insieme

Gli alunni più alti della classe.

manca la soglia: «più alti» di chi, e a partire da quale altezza

Un criterio che si misura o si controlla va sempre bene: i giorni della settimana, le vocali dell'alfabeto italiano, i numeri pari minori di $100$ .
Un criterio che è un giudizio non va bene: le canzoni belle, i film noiosi, i giocatori più bravi. Due persone rispondono in modo diverso sullo stesso oggetto, e nessuna delle due sbaglia.
Nell'insieme ogni elemento si conta una volta sola: la parola «banana» ha sei lettere, ma l'insieme delle sue lettere ha tre elementi: la $b$ , la $a$ e la $n$ .

Un criterio che confronta non basta da solo. «I compagni più alti» sembra chiaro perché l'altezza si misura, ma non dice dove passa il confine: per decidere serve una soglia, come «più di $160$ cm». Senza soglia il raggruppamento resta un'opinione, e un'opinione non fa un insieme.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 1: si sceglie un criterio e si guarda come divide il mucchio; con un criterio che è un giudizio, due persone lo dividono in modo diverso.

Domande

Quando un raggruppamento è un insieme?
- A Quando ha pochi elementi
- B Quando si può disegnare
- C Quando gli oggetti si somigliano
- D Quando di ogni oggetto si può dire con certezza se ci sta dentro
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Risposta giusta: D. Quando di ogni oggetto si può dire con certezza se ci sta dentro
La condizione non riguarda il numero degli elementi né la loro somiglianza: riguarda il criterio. Se l'appartenenza si decide con certezza, il raggruppamento è un insieme.
Quale di questi non forma un insieme?
- A I mesi con trentun giorni
- B I film noiosi
- C Le lettere della parola «scuola»
- D I numeri pari minori di 20
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Risposta giusta: B. I film noiosi
«Noioso» è un giudizio: due persone metterebbero lo stesso film in due gruppi diversi, e nessuna delle due avrebbe torto. Gli altri tre criteri si controllano e danno sempre la stessa risposta.
«Gli alunni più alti della classe» non è un insieme. Come si può correggere?
- A Dicendo «gli alunni alti più di 150 cm»
- B Dicendo «gli alunni molto alti»
- C Dicendo «gli alunni alti secondo il professore»
- D Non si può correggere
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Risposta giusta: A. Dicendo «gli alunni alti più di 150 cm»
Serve una soglia che chiuda il confine. Con «più di 150 cm» basta misurare, e la risposta non dipende da chi la dà. «Molto alti» e «secondo il professore» restano giudizi.
Come si chiamano gli oggetti che formano un insieme?
- A Fattori
- B Termini
- C Elementi
- D Componenti
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Risposta giusta: C. Elementi
Si chiamano elementi. Termini e fattori sono nomi che appartengono alle operazioni: i termini di una sottrazione, i fattori di un prodotto.
Quanti elementi ha l'insieme delle lettere della parola «nonna»?
- A Cinque
- B Due
- C Tre
- D Quattro
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Risposta giusta: C. Tre
La parola ha cinque lettere, ma le lettere diverse sono tre: $n$ , $o$ , $a$ . In un insieme ogni elemento si conta una volta sola, anche se nella parola compare più volte.
Quale criterio dividerebbe la classe in due gruppi su cui tutti sono d'accordo?
- A Chi ha i capelli belli
- B Chi è simpatico
- C Chi studia abbastanza
- D Chi è nato prima del 2015
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Risposta giusta: D. Chi è nato prima del 2015
La data di nascita si legge e non si discute. «Belli», «simpatico» e «abbastanza» cambiano da persona a persona, quindi non chiudono il confine dell'insieme.
Due compagni raggruppano gli stessi oggetti con il criterio «è quadrato» e ottengono gruppi diversi. Che cosa si deve concludere?
- A Che almeno uno dei due ha sbagliato a guardare
- B Che il criterio è soggettivo
- C Che gli oggetti sono troppi
- D Che «quadrato» non è una forma
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Risposta giusta: A. Che almeno uno dei due ha sbagliato a guardare
«Quadrato» è una proprietà che si controlla, quindi la risposta giusta è una sola: se i due gruppi differiscono, qualcuno ha guardato male. È l'opposto di quello che succede con «bello», dove due risposte diverse sono tutte e due valide.
Perché «le vocali dell'alfabeto italiano» è un insieme?
- A Perché sono poche
- B Perché di ogni lettera si sa se è una vocale
- C Perché si possono scrivere
- D Perché stanno all'inizio dell'alfabeto
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Risposta giusta: B. Perché di ogni lettera si sa se è una vocale
Essere vocale è una proprietà della lettera, e si controlla senza discutere. Che siano poche o facili da scrivere non c'entra: anche un insieme infinito è un insieme.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

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