Matematica · 1ª media · Lezione 2 di 7

Gli insiemi in matematica

Scrivere l'appartenenza con i simboli, riconoscere un insieme finito, uno infinito e uno vuoto, e stabilire quando due insiemi sono uguali.

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Teoria in pillole

Per parlare di insiemi in matematica servono pochi simboli. L'insieme si nomina con una lettera maiuscola, i suoi elementi con lettere minuscole o con numeri, e per dire che un elemento sta dentro si usa il simbolo di appartenenza.

Appartiene

$19 \in P$

19

appartiene a

P

, l'insieme dei numeri primi

Non appartiene

$21 \notin P$

21

non appartiene a

P

: si divide per

3

e per

7

Insieme vuoto

$B = \emptyset$

B

è l'insieme dei giorni della settimana che iniziano per «Z»: non ha elementi

Un insieme è finito quando i suoi elementi si possono contare tutti: i multipli di $3$ compresi fra $2$ e $13$ sono quattro, cioè $3$ , $6$ , $9$ , $12$ .
Un insieme è infinito quando gli elementi non finiscono mai: i numeri pari sono infiniti, perché dopo ognuno se ne può sempre scrivere un altro.
Due insiemi sono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi, in qualunque ordine siano scritti: le lettere di «Anna» e quelle di «nanna» formano lo stesso insieme, la $a$ e la $n$ .

Grande non vuol dire infinito. Le stelle visibili in cielo e gli abitanti di Roma sono tantissimi, ma sono un numero preciso: quegli insiemi sono finiti. Infinito è solo un insieme in cui, dopo ogni elemento, se ne può sempre scrivere un altro. E attenzione al verso del simbolo: prima l'elemento, poi l'insieme. Si scrive $19 \in P$ , mai il contrario.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Gli insiemi in matematica

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Simulazioni

Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 2: si prova un elemento e compare la frase scritta con i simboli ∈ e ∉, anche per un insieme vuoto e per uno infinito.

Domande

Che cosa significa la scrittura $7 \in D$ ?
- A $7$ appartiene all'insieme $D$
- B $7$ è uguale a $D$
- C $D$ appartiene a $7$
- D $7$ non appartiene a $D$
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Risposta giusta: A. $7$ appartiene all'insieme $D$
Il simbolo ∈ si legge «appartiene a» e va letto da sinistra a destra: prima l'elemento, poi l'insieme a cui appartiene.
Chiamiamo $t$ un triangolo equilatero e $Q$ l'insieme dei quadrilateri. Quale scrittura è giusta?
- A $t \in Q$
- B $Q \in t$
- C $Q \notin t$
- D $t \notin Q$
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Risposta giusta: D. $t \notin Q$
Un triangolo ha tre lati, quindi non è un quadrilatero: non appartiene a $Q$ , e si scrive con ∉. L'elemento sta sempre a sinistra del simbolo e l'insieme a destra, mai il contrario.
Quale di questi insiemi è infinito?
- A Le stelle visibili in cielo
- B Gli abitanti di Roma
- C I multipli di 7
- D I numeri naturali minori di 1000
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Risposta giusta: C. I multipli di 7
Dopo ogni multiplo di 7 se ne può sempre scrivere un altro aggiungendo 7: non finiscono mai. Gli altri tre sono grandissimi ma finiti, perché in linea di principio si potrebbero contare.
Quale di questi insiemi è vuoto?
- A I mesi il cui nome inizia per O
- B I numeri pari maggiori di 4 e minori di 6
- C I numeri naturali il cui nome inizia per M
- D I giorni della settimana con la lettera D
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Risposta giusta: B. I numeri pari maggiori di 4 e minori di 6
Fra 4 e 6 c'è solo il 5, che è dispari: nessun numero soddisfa tutte e due le condizioni. Gli altri hanno elementi: ottobre, mille, martedì e mercoledì.
Come si indica l'insieme vuoto?
- A Con lo zero
- B Con il simbolo ∉
- C Con una lettera minuscola
- D Con il simbolo ∅
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Risposta giusta: D. Con il simbolo ∅
L'insieme vuoto si indica con ∅. Non si indica con lo zero: zero è un numero, e un insieme che contenesse il numero zero avrebbe un elemento, quindi non sarebbe vuoto.
L'insieme delle lettere di «Anna» e quello delle lettere di «nanna» sono uguali?
- A Sì, perché hanno gli stessi elementi
- B No, perché «nanna» ha più lettere
- C No, perché le parole sono diverse
- D Sì, perché iniziano con la stessa lettera
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Risposta giusta: A. Sì, perché hanno gli stessi elementi
Tutte e due le parole usano soltanto la $a$ e la $n$ , quindi formano lo stesso insieme. Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi, e non conta né l'ordine né quante volte compaiono.
$C$ è l'insieme delle cifre pari del numero 75 649. Quale affermazione è vera?
- A $9 \in C$
- B $6 \in C$
- C $8 \in C$
- D $5 \in C$
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Risposta giusta: B. $6 \in C$
Nel numero compaiono 7, 5, 6, 4, 9, e fra queste le pari sono 6 e 4. Il 9 e il 5 ci sono ma sono dispari; l'8 è pari ma nel numero non compare, quindi non è una sua cifra.
Perché «i numeri naturali compresi fra $0$ e $1000$ » è un insieme finito?
- A Perché sono pochi
- B Perché sono tutti piccoli
- C Perché si fermano a un certo punto
- D Perché si possono scrivere in poco tempo
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Risposta giusta: C. Perché si fermano a un certo punto
Esiste un ultimo elemento oltre il quale non si va: il confine chiude l'insieme, e questo lo rende finito. Che siano tanti o pochi, o comodi da scrivere, non cambia niente.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

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