Matematica · 1ª media · Capitolo

Il linguaggio degli insiemi

Riconoscere un insieme fra i tanti modi di raggruppare, scriverlo con i simboli della matematica, rappresentarlo con il disegno, l'elenco o la proprietà caratteristica, e confrontare e combinare due insiemi.

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Di che cosa parla il capitolo

Un insieme è un gruppo di oggetti che si riconoscono uno per uno: se di un oggetto qualsiasi si può dire con certezza se ci sta dentro oppure no, quel gruppo è un insieme. Gli oggetti che lo formano si chiamano elementi.

$A = {a, e, i, o, u}$

l'insieme delle vocali, scritto elencando i suoi elementi fra parentesi graffe

Il capitolo insegna a maneggiare questo linguaggio, una tappa alla volta:

Classificare. Raggruppare secondo un criterio, e distinguere i criteri su cui tutti sono d'accordo da quelli che dipendono dai gusti.
Scrivere. I simboli dell'appartenenza, l'insieme senza elementi, gli insiemi che finiscono e quelli che non finiscono.
Rappresentare. Il disegno, l'elenco fra graffe e la proprietà caratteristica: tre modi di dire la stessa cosa, e si sceglie quello che serve far vedere.
Confrontare. Quando un insieme sta tutto dentro un altro: i sottoinsiemi e il simbolo di inclusione.
Combinare. Che cosa hanno in comune due insiemi, l'intersezione, e che cosa si ottiene mettendoli assieme, l'unione, che serve anche a contare senza contare due volte.

Alla fine gli insiemi non servono solo a sé stessi: sono la lingua con cui la matematica dice di che cosa sta parlando, dai numeri naturali alle figure.

Le lezioni del capitolo

La palestra del capitolo

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

Quiz di fine capitolo

Quale di questi gruppi è un insieme?
- A Le canzoni orecchiabili
- B Gli esercizi difficili
- C I film lunghi
- D I mesi con trentuno giorni
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Risposta giusta: D. I mesi con trentuno giorni
Su «trentuno giorni» si può controllare mese per mese e nessuno cambia la risposta. Orecchiabile, lungo e difficile sono giudizi: due persone smisterebbero lo stesso oggetto in modo diverso, e senza un confine certo non c'è insieme.
Che cosa sono gli elementi di un insieme?
- A Gli oggetti che lo formano
- B I criteri usati per costruirlo
- C I simboli che lo rappresentano
- D Le parentesi graffe
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Risposta giusta: A. Gli oggetti che lo formano
Gli elementi sono gli oggetti raggruppati: le vocali dell'insieme delle vocali, i numeri dell'insieme dei pari. Il criterio serve a decidere chi entra, ma non è un elemento.
Nell'insieme $D$ dei numeri dispari minori di 10, quale scrittura è giusta?
- A $10 \in D$
- B $7 \in D$
- C $7 \notin D$
- D $D \in 7$
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Risposta giusta: B. $7 \in D$
7 è dispari ed è minore di 10, quindi appartiene a $D$ e si scrive $7 \in D$ . Il simbolo va letto da sinistra a destra: prima l'elemento, poi l'insieme, mai il contrario.
Quanti elementi ha l'insieme vuoto?
- A Nessuno
- B Uno, lo zero
- C Dipende dall'insieme
- D Infiniti
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Risposta giusta: A. Nessuno
L'insieme vuoto non ha elementi e si scrive ∅ oppure ${}$ . Non contiene lo zero: zero è un numero, e un insieme che lo contenesse avrebbe un elemento.
L'insieme dei numeri naturali multipli di 4 è finito o infinito?
- A Finito, sono quattro
- B Finito, ma sono tanti
- C Infinito
- D Non è un insieme
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Risposta giusta: C. Infinito
Dopo ogni multiplo di 4 se ne può sempre scrivere un altro aggiungendo 4, e il conteggio non si ferma mai. Il criterio però resta certo: di ogni numero si sa se è multiplo di 4 o no.
L'insieme $V$ è formato dalle lettere della parola «lettera». Come si scrive per elencazione?
- A $V = {l,$ $e,$ $t,$ $t,$ $e,$ $r,$ $a}$
- B $V = {l, e, t, r, a}$
- C $V = {lettera}$
- D $V = {7}$
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Risposta giusta: B. $V = {l, e, t, r, a}$
Nell'elencazione ogni elemento si scrive una volta sola, anche se nella parola compare due o tre volte: l'insieme dice quali lettere ci sono, non quante volte.
In un diagramma, dove si scrive la lettera maiuscola che dà il nome all'insieme?
- A Dentro la linea chiusa, fra gli elementi
- B Non si scrive
- C Sotto il disegno, come didascalia
- D Fuori dalla linea chiusa, vicino al bordo
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Risposta giusta: D. Fuori dalla linea chiusa, vicino al bordo
Il nome sta fuori dalla linea chiusa perché non è un elemento dell'insieme: è l'etichetta del contenitore. Scriverlo dentro lo farebbe sembrare uno degli oggetti raggruppati.
Due compagni rappresentano lo stesso insieme, uno con il diagramma e uno per elencazione. Chi ha ragione?
- A Chi ha usato il diagramma
- B Chi ha usato l'elencazione
- C Tutti e due: sono due scritture dello stesso insieme
- D Nessuno dei due, serve la proprietà
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Risposta giusta: C. Tutti e due: sono due scritture dello stesso insieme
Un insieme è determinato dai suoi elementi, non da come lo si scrive. Diagramma ed elenco sono due rappresentazioni della stessa cosa, e si sceglie quella che rende più evidente ciò che si vuole mostrare.
Quale scrittura descrive per caratteristica l'insieme ${10, 20, 30, 40}$ ?
- A ${x | x$ $è$ $un$ $multiplo$ $di$ $10}$
- B ${x | x$ $è$ $un$ $multiplo$ $di$ $10$ $compreso$ $fra$ $1$ $e$ $45}$
- C ${x | x$ $è$ $un$ $numero$ $pari$ $minore$ $di$ $45}$
- D ${x | x$ $è$ $un$ $numero$ $di$ $due$ $cifre}$
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Risposta giusta: B. ${x | x$ $è$ $un$ $multiplo$ $di$ $10$ $compreso$ $fra$ $1$ $e$ $45}$
La proprietà deve valere per tutti e soli gli elementi. «Multiplo di 10» da sola fa entrare anche $50$ e $60$ ; i pari minori di $45$ e i numeri di due cifre sono molti di più dei quattro elencati.
$A = {x | x$ $è$ $un$ $giorno$ $della$ $settimana}$ e $B = {sabato, domenica}$ . Quale scrittura è giusta?
- A $A \subset B$
- B $B \in A$
- C $B \subset A$
- D $A \cap B = \emptyset$
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Risposta giusta: C. $B \subset A$
Sabato e domenica sono giorni della settimana: tutti gli elementi di $B$ stanno in $A$ , quindi $B \subset A$ . ∈ lega un elemento a un insieme, non due insiemi; e l'intersezione non è vuota, perché è proprio $B$ .
$A = {x | x$ $è$ $una$ $lettera$ $della$ $parola$ $pane}$ e $B = {x | x$ $è$ $una$ $lettera$ $della$ $parola$ $pino}$ . Quanto vale $A \cap B$ ?
- A ${p, n}$
- B ${p,$ $a,$ $n,$ $e,$ $i,$ $o}$
- C $\emptyset$
- D ${a, e, i, o}$
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Risposta giusta: A. ${p, n}$
Le lettere presenti in tutte e due le parole sono $p$ e $n$ . ${p,$ $a,$ $n,$ $e,$ $i,$ $o}$ è l'unione; le vocali, invece, nelle due parole sono tutte diverse.
In un gruppo di 20 amici, 12 vanno in bicicletta, 10 nuotano e 5 fanno tutte e due le cose. Quanti non fanno nessuna delle due?
- A $0$
- B $8$
- C $17$
- D $3$
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Risposta giusta: D. $3$
Chi fa almeno una delle due attività è $12 + 10 - 5 = 17$ : i $5$ che fanno entrambe sono contati due volte e si tolgono una volta. Restano $20 - 17 = 3$ . $17$ risponde a un'altra domanda; $0$ nasce da $12 + 10 = 22$ , più del gruppo intero, che è proprio il segnale del doppio conteggio; $8$ sono quelli che non vanno in bicicletta, ma alcuni di loro nuotano.

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