Matematica · 1ª media · Lezione 6 di 7

Intersezione di insiemi

Trovare gli elementi comuni a due insiemi, scriverli con il simbolo di intersezione e riconoscere gli insiemi disgiunti.

Apri la lezione interattiva

Video

Guarda la videolezione: un solo concetto alla volta, con i sottotitoli

Teoria in pillole

L'intersezione di due insiemi $A$ e $B$ è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad $A$ sia a $B$ , cioè degli elementi comuni. Si scrive $A \cap B$ e si legge « $A$ intersecato $B$ ».

Con elementi in comune

$A = {1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12}$

$B = {1,$ $2,$ $3,$ $6,$ $9,$ $18}$

$A \cap B = {1, 2, 3, 6}$

A

contiene i divisori di

12

B

quelli di

18

: la zona colorata, dove le due linee si sovrappongono, raccoglie i divisori comuni

Senza elementi in comune

$L = {s, o, l, e}$

$M = {p, u, n, t, a}$

$L \cap M = \emptyset$

le lettere di «sole» e quelle di «punta» sono tutte diverse: i due insiemi si dicono disgiunti, e la loro intersezione è l'insieme vuoto

Se un insieme è incluso nell'altro, l'intersezione è il più piccolo dei due: tutti i suoi elementi sono già comuni. Per esempio l'intersezione di ${4, 8}$ e ${2, 4, 6, 8}$ è ${4, 8}$ stesso.
L'intersezione non può avere più elementi del più piccolo dei due insiemi, perché i suoi elementi stanno in tutti e due.
L'intersezione si può descrivere anche per caratteristica, mettendo insieme le due proprietà. Se $A$ contiene i numeri maggiori di $10$ e $B$ quelli minori di $15$ , $A \cap B = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $maggiore$ $di$ $10$ $e$ $minore$ $di$ $15}$ , e i numeri che le rispettano tutte e due sono ${11, 12, 13, 14}$ .

Nell'intersezione non si mettono tutti gli elementi dei due insiemi: si mettono solo quelli comuni. Tutti gli elementi insieme formano un'altra operazione, l'unione.

E «disgiunti» vuol dire nessun elemento in comune. Due insiemi con un solo elemento in comune non sono disgiunti: la loro intersezione ha un elemento, quindi non è vuota.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Apri la mappa in grande

Simulazioni

Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 6: si sceglie una coppia di insiemi e si colora la zona comune, anche quando sono disgiunti o uno è dentro l'altro.

Domande

Che cos'è l'intersezione di due insiemi $A$ e $B$ ?
- A L'insieme di tutti gli elementi di $A$ e di $B$
- B L'insieme degli elementi di $A$ che non stanno in $B$
- C Il più piccolo dei due insiemi
- D L'insieme degli elementi che stanno sia in $A$ sia in $B$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. L'insieme degli elementi che stanno sia in $A$ sia in $B$
Sono gli elementi comuni: nel diagramma, la zona in cui le due linee si sovrappongono. Tutti gli elementi dei due insiemi messi insieme formano invece l'unione.
$A = {2, 4, 6, 8, 10}$ e $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Quanto vale $A \cap B$ ?
- A ${1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $8,$ $10}$
- B ${2, 4}$
- C ${6, 8, 10}$
- D ${1, 3, 5}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. ${2, 4}$
Gli unici elementi presenti in tutti e due gli insiemi sono $2$ e $4$ . Il primo elenco è l'unione; ${6, 8, 10}$ sono gli elementi di $A$ che in $B$ mancano, ${1, 3, 5}$ quelli di $B$ che mancano in $A$ .
Quando due insiemi si dicono disgiunti?
- A Quando hanno un solo elemento in comune
- B Quando sono tutti e due infiniti
- C Quando non hanno nessun elemento in comune
- D Quando hanno lo stesso numero di elementi
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. Quando non hanno nessun elemento in comune
Disgiunti vuol dire senza elementi comuni, e allora la loro intersezione è l'insieme vuoto. Con un solo elemento in comune l'intersezione ha un elemento, quindi non sono disgiunti.
$A$ è l'insieme dei numeri dispari e $B$ quello dei multipli di 4. Quanto vale $A \cap B$ ?
- A $\emptyset$
- B ${4, 8, 12, …}$
- C ${1, 3, 5, …}$
- D Non si può trovare, perché sono infiniti
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. $\emptyset$
Ogni multiplo di $4$ è pari, quindi non può essere dispari: i due insiemi non hanno elementi in comune e sono disgiunti. Che siano infiniti non conta, l'intersezione si trova lo stesso ed è l'insieme vuoto.
$A = {x | x$ $è$ $un$ $mese$ $che$ $comincia$ $per$ $m}$ e $B = {x | x$ $è$ $un$ $mese$ $di$ $31$ $giorni}$ . Quanto vale $A \cap B$ ?
- A $\emptyset$
- B ${marzo, maggio}$
- C Tutti i mesi di 31 giorni
- D ${marzo}$
Vedi la risposta
Risposta giusta: B. ${marzo, maggio}$
Marzo e maggio hanno tutti e due $31$ giorni, quindi $A$ è incluso in $B$ e l'intersezione è $A$ stesso. Quando un insieme è incluso nell'altro, l'intersezione è il più piccolo dei due.
$A$ ha 5 elementi e $B$ ne ha 8. Quanti elementi può avere, al massimo, $A \cap B$ ?
- A $13$
- B $8$
- C $3$
- D $5$
Vedi la risposta
Risposta giusta: D. $5$
Gli elementi comuni stanno anche in $A$ , che ne ha solo $5$ : l'intersezione non può superarli, e ne ha $5$ quando $A$ è incluso in $B$ . $13$ è la somma dei due; $8$ è il numero di elementi di $B$ , ma i tre elementi di $B$ in più non possono stare in $A$ .
$A = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $maggiore$ $di$ $20}$ e $B = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $minore$ $di$ $25}$ . Come si scrive $A \cap B$ per elencazione?
- A ${21, 22, 23, 24}$
- B ${20,$ $21,$ $22,$ $23,$ $24,$ $25}$
- C ${21, 22, 23, 24, 25}$
- D $\emptyset$
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. ${21, 22, 23, 24}$
Servono i numeri che rispettano tutte e due le condizioni: maggiori di $20$ e minori di $25$ . $20$ e $25$ restano fuori, perché «maggiore» e «minore» escludono il numero stesso.
In un diagramma di Eulero-Venn con due linee che si sovrappongono, dove stanno gli elementi di $A \cap B$ ?
- A Fuori da tutte e due le linee
- B Nella parte di $A$ che non tocca $B$
- C Nella zona in cui le due linee si sovrappongono
- D In tutto il disegno
Vedi la risposta
Risposta giusta: C. Nella zona in cui le due linee si sovrappongono
L'intersezione è la zona comune: un elemento che sta lì è dentro la linea di $A$ e dentro quella di $B$ nello stesso momento.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

Apri la lezione interattiva