Matematica · 1ª media · Lezione 7 di 7
Unione di insiemi
Riunire gli elementi di due insiemi scrivendo una volta sola quelli comuni, e contare con il diagramma di Eulero-Venn quanti elementi ha l'unione.
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Teoria in pillole
L'unione di due insiemi e è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad oppure a , cioè ad almeno uno dei due. Si scrive e si legge « unito ». Gli elementi comuni si scrivono una volta sola.
contiene le lettere di «rana», quelle di «nave». La e la stanno in tutti e due gli insiemi, ma nell'unione compaiono una volta sola: gli elementi sono , non
In una classe di alunni, fanno nuoto, suonano uno strumento e fanno tutte e due le cose. Quanti alunni non fanno né nuoto né musica?
i che fanno tutte e due le cose sono contati sia fra i sia fra i : si tolgono una volta, e l'unione ha alunni. Verifica sul disegno: . Risposta: alunni non fanno né nuoto né musica
- Se un insieme è incluso nell'altro, l'unione non aggiunge niente ed è il più grande dei due: unendo a si ottiene di nuovo .
- Se i due insiemi sono disgiunti, non c'è niente da togliere: l'unione ha tanti elementi quanti i due insiemi messi insieme. È l'intersezione a essere vuota, non l'unione.
- L'intersezione sta sempre dentro l'unione: gli elementi comuni appartengono a tutti e due gli insiemi, quindi anche ad almeno uno.
L'errore più frequente è contare due volte gli elementi comuni: sommare darebbe alunni fra nuoto e musica, mentre sono . E i simboli non si scambiano: ∪, che ricorda la U di unione, raccoglie tutto; ∩ tiene solo gli elementi comuni.
Spesso si fissa un insieme più grande da cui si prendono tutti gli elementi: è l'insieme universo, indicato con . Il complementare di un insieme rispetto a è l'insieme degli elementi di che non appartengono ad .
il complementare di rispetto a è , la parte colorata. Cambiando universo cambia anche il complementare. Nel problema della classe l'universo sono i alunni, e i che non fanno né nuoto né musica sono il complementare dell'unione
La mappa
La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.
Simulazioni
- Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 7: si costruisce l'unione un elemento alla volta, poi si risolve con il diagramma il problema dei 25 alunni.
Domande
Che cos'è l'unione di due insiemi e ?
- A L'insieme degli elementi che stanno in oppure in , scritti una volta sola
- B L'insieme degli elementi comuni ad e a
- C L'insieme degli elementi che stanno in uno solo dei due
- D La somma dei numeri di e di
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Risposta giusta: A. L'insieme degli elementi che stanno in oppure in , scritti una volta sola
Sono tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi, e quelli comuni si scrivono una volta sola. Gli elementi comuni presi da soli formano invece l'intersezione.
e . Quanto vale ?
- A
- B
- C
- D
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Risposta giusta: C.
Si prendono tutti gli elementi dei due insiemi, e e , che stanno in entrambi, si scrivono una volta sola: gli elementi sono sei. è l'intersezione; lascia fuori proprio gli elementi comuni.
Come si scrive «l'unione di e »?
- A
- B
- C
- D
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Risposta giusta: B.
∪ ricorda la U di unione. ∩ è l'intersezione e ⊂ l'inclusione; il segno + si usa fra numeri, non fra insiemi.
L'insieme è incluso nell'insieme . Quanto vale ?
- A
- B
- C Un insieme più grande di
- D
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Risposta giusta: D.
Tutti gli elementi di stanno già in , quindi metterli insieme non aggiunge niente: l'unione è . Nello stesso caso l'intersezione è invece .
In un gruppo di ragazzi, 11 giocano a calcio, 8 a pallavolo e 3 a tutti e due gli sport. Quanti ragazzi giocano ad almeno uno dei due?
- A
- B
- C
- D
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Risposta giusta: D.
I che fanno tutti e due gli sport sono contati sia fra gli sia fra gli : si tolgono una volta, . li conta due volte; li toglie due volte e così spariscono; li aggiunge invece di toglierli.
e sono disgiunti; ha 4 elementi e ne ha 6. Quanti elementi ha ?
- A
- B
- C
- D
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Risposta giusta: A.
Senza elementi comuni non c'è niente da togliere: . confonde l'unione con l'intersezione, che per due insiemi disgiunti è vuota; moltiplica invece di sommare.
Una classe ha 22 alunni: 13 hanno un cane, 7 un gatto e 4 tutti e due. Quanti non hanno né cane né gatto?
- A
- B
- C
- D
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Risposta giusta: C.
Chi ha almeno un animale è , quindi senza animali restano alunni. nasce dal togliere e senza accorgersi che sono contati due volte; risponde a un'altra domanda; sono quelli che hanno solo il cane.
Quale frase è vera?
- A L'unione di due insiemi disgiunti è l'insieme vuoto
- B L'unione di due insiemi contiene sempre la loro intersezione
- C L'unione ha sempre meno elementi di ciascuno dei due insiemi
- D Nell'unione gli elementi comuni si scrivono due volte
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Risposta giusta: B. L'unione di due insiemi contiene sempre la loro intersezione
Gli elementi comuni stanno in tutti e due gli insiemi, quindi entrano anche nell'unione. Per due insiemi disgiunti è l'intersezione a essere vuota, non l'unione; e l'unione non ha mai meno elementi di uno dei due insiemi.
Palestra del capitolo
Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.
- Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.