Matematica · 1ª media · Lezione 5 di 7

Sottoinsiemi

Riconoscere quando un insieme è contenuto in un altro, scriverlo con il simbolo di inclusione e non confondere l'inclusione fra insiemi con l'appartenenza di un elemento.

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Teoria in pillole

Un insieme $B$ è un sottoinsieme di $A$ quando tutti gli elementi di $B$ appartengono anche ad $A$ . Si dice anche che $B$ è incluso in $A$ , e si scrive $B \subset A$ ; se invece $B$ non è incluso in $A$ si scrive $B ⊄ A$ .

Incluso

$A = {1,$ $2,$ $3,$ $6,$ $9,$ $18}$

$B = {3, 6, 9}$

$B \subset A$

ogni elemento di

B

sta anche in

A

: nel diagramma la linea di

B

è tutta dentro quella di

A

Non incluso

$C = {2, 4}$

$C ⊄ A$

2

sta in

A

, il

4

no: basta un solo elemento fuori perché

C

non sia un sottoinsieme di

A

Proprio o no. $B$ è un sottoinsieme proprio di $A$ quando in $A$ c'è almeno un elemento che in $B$ manca: sopra ci sono $1$ , $2$ e $18$ . Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, $A \subset A$ , ma non proprio. Succede anche con due descrizioni diverse dello stesso insieme: le cifre pari e i numeri pari minori di $10$ sono lo stesso insieme, ${0, 2, 4, 6, 8}$ .
L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme: non ha elementi, quindi non ne ha nessuno fuori. $\emptyset \subset A$ vale per qualunque $A$ .
Le inclusioni si possono mettere in fila. Se $E$ è l'insieme dei multipli di $8$ , $Q$ quello dei multipli di $4$ e $P$ quello dei numeri pari, ogni multiplo di $8$ è multiplo di $4$ e ogni multiplo di $4$ è pari: $E \subset Q \subset P$ . Il simbolo si apre sempre verso l'insieme più grande.

∈ e ⊂ non si scambiano. ∈ lega un elemento a un insieme: $3 \in A$ . ⊂ lega due insiemi: ${3} \subset A$ . Scrivere $3 \subset A$ è sbagliato, perché $3$ è un numero e non un insieme.

Anche il verso conta: $B \subset A$ e $A \subset B$ dicono due cose diverse. Prima di scrivere, chiediti quale dei due insiemi sta dentro l'altro.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

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Simulazioni

Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 5: si scelgono gli elementi di B, e la linea di B resta dentro quella di A finché nessun elemento sta fuori.

Domande

Quando un insieme $B$ è sottoinsieme di $A$ ?
- A Quando ha meno elementi di $A$
- B Quando tutti gli elementi di $B$ appartengono ad $A$
- C Quando almeno un elemento di $B$ appartiene ad $A$
- D Quando $A$ e $B$ hanno un nome diverso
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Risposta giusta: B. Quando tutti gli elementi di $B$ appartengono ad $A$
Devono stare in $A$ tutti gli elementi di $B$ , nessuno escluso. Avere meno elementi non basta: ${7, 8}$ ha meno elementi di ${1, 2, 3}$ ma non è incluso. E non basta nemmeno un elemento in comune.
$A = {1,$ $2,$ $3,$ $6,$ $9,$ $18}$ . Quale di questi insiemi è un sottoinsieme di $A$ ?
- A ${2, 4}$
- B ${3, 6, 12}$
- C ${1, 9, 27}$
- D ${2, 9, 18}$
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Risposta giusta: D. ${2, 9, 18}$
Solo in ${2, 9, 18}$ tutti gli elementi stanno in $A$ . Negli altri c'è sempre un elemento fuori, il $4$ , il $12$ o il $27$ , e ne basta uno solo per non essere sottoinsieme.
Quale scrittura è giusta?
- A $3 \in {1, 3, 5}$
- B $3 \subset {1, 3, 5}$
- C ${3} \in {1, 3, 5}$
- D ${1, 3, 5} \subset 3$
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Risposta giusta: A. $3 \in {1, 3, 5}$
∈ lega un elemento a un insieme, ⊂ lega due insiemi. $3$ è un elemento, quindi si scrive $3 \in {1, 3, 5}$ . Per usare ⊂ bisogna mettere il $3$ dentro un insieme: ${3} \subset {1, 3, 5}$ .
L'insieme vuoto è un sottoinsieme di ${a, b, c}$ ?
- A Sì: è sottoinsieme di ogni insieme
- B No, perché non ha elementi
- C Solo se ${a, b, c}$ è vuoto
- D No, perché non si può disegnare
Vedi la risposta
Risposta giusta: A. Sì: è sottoinsieme di ogni insieme
Per essere sottoinsieme non deve avere elementi fuori dall'altro insieme. L'insieme vuoto non ha elementi, quindi non ne ha nessuno fuori: $\emptyset \subset A$ vale per ogni insieme $A$ .
$P = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $pari}$ e $Q = {x | x$ $è$ $un$ $multiplo$ $di$ $4}$ . Quale scrittura è giusta?
- A $P \subset Q$
- B $P \in Q$
- C $Q \subset P$
- D $Q \in P$
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Risposta giusta: C. $Q \subset P$
Ogni multiplo di $4$ è pari, quindi $Q$ sta dentro $P$ : $Q \subset P$ . Il contrario non vale, perché $6$ è pari ma non è multiplo di $4$ . E ∈ non va bene: lega un elemento a un insieme, non due insiemi.
$A = {m, a, r, e}$ e $B = {x | x$ $è$ $una$ $lettera$ $della$ $parola$ $rame}$ . Che relazione c'è fra $A$ e $B$ ?
- A $B$ è un sottoinsieme proprio di $A$
- B Nessuno dei due è sottoinsieme dell'altro
- C Non hanno elementi in comune
- D Sono uguali, e ciascuno è sottoinsieme dell'altro
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Risposta giusta: D. Sono uguali, e ciascuno è sottoinsieme dell'altro
Le lettere di «rame» sono $r$ , $a$ , $m$ , $e$ : gli stessi elementi di $A$ in un altro ordine. Due insiemi uguali sono uno sottoinsieme dell'altro, ma non sottoinsieme proprio, perché a nessuno dei due manca qualcosa.
$E$ è l'insieme dei multipli di 8, $Q$ quello dei multipli di 4 e $P$ quello dei numeri pari. Quale catena di inclusioni è giusta?
- A $P \subset Q \subset E$
- B $E \subset Q \subset P$
- C $Q \subset E \subset P$
- D $E \subset P \subset Q$
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Risposta giusta: B. $E \subset Q \subset P$
Ogni multiplo di $8$ è anche multiplo di $4$ , e ogni multiplo di $4$ è pari. Si va dal più piccolo al più grande: $E \subset Q \subset P$ . Il simbolo si apre verso l'insieme più grande.
$C = {3, 7}$ e $A = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $dispari$ $minore$ $di$ $6}$ . Perché si scrive $C ⊄ A$ ?
- A Perché $C$ ha meno elementi di $A$
- B Perché $3$ non appartiene ad $A$
- C Perché $7$ non appartiene ad $A$
- D Perché $C$ e $A$ non hanno elementi in comune
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Risposta giusta: C. Perché $7$ non appartiene ad $A$
$A = {1, 3, 5}$ : il $3$ ci sta, il $7$ no, perché non è minore di $6$ . Basta quell'elemento fuori perché $C$ non sia incluso in $A$ . $C$ e $A$ hanno il $3$ in comune, quindi l'ultima risposta è sbagliata.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

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