Matematica · 1ª media · Lezione 4 di 7

Rappresentazione per caratteristica

Descrivere un insieme con la proprietà che hanno tutti e soli i suoi elementi, e passare dalla caratteristica all'elenco e dall'elenco alla caratteristica.

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Teoria in pillole

Un insieme si può descrivere anche senza elencarne gli elementi: basta dire la proprietà che li riconosce. È la rappresentazione per caratteristica, e funziona quando la proprietà vale per tutti e soli gli elementi dell'insieme: tutti quelli che stanno dentro ce l'hanno, nessuno di quelli che stanno fuori ce l'ha.

Come si scrive

$D = {x | x$ $è$ $un$ $divisore$ $di$ $12}$

si legge «

D

è l'insieme degli elementi

x

tali che

x

è un divisore di

12

»: la barra verticale vuol dire tale che, e dopo la barra c'è la proprietà

Dalla caratteristica all'elenco

$D = {1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12}$

si provano i numeri uno per uno e si tengono quelli che rispettano la proprietà:

12

si divide senza resto per

1

2

3

4

6

12

, e per nessun altro numero

Dall'elenco alla caratteristica

$Q = {11, 13, 15, 17, 19}$

$Q = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $dispari$ $compreso$ $fra$ $10$ $e$ $20}$

si cerca che cosa hanno in comune gli elementi, poi si controlla che la proprietà non faccia entrare nessun altro: «dispari» da sola comprenderebbe anche

9

21

, quindi serve anche il confine

La caratteristica è l'unico modo di scrivere per intero un insieme infinito. L'insieme dei numeri pari si può solo cominciare a elencare, ${0, 2, 4, 6, …}$ , mentre $P = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $pari}$ lo dice tutto.
Lo stesso insieme può avere più caratteristiche giuste: ${2, 3, 5, 7}$ è l'insieme dei numeri primi minori di $10$ , ma anche quello dei numeri primi di una cifra. Conta che la proprietà valga per tutti e soli gli elementi.
La caratteristica funziona anche con lettere e parole: $L = {x | x$ $è$ $una$ $lettera$ $della$ $parola$ $tavolo}$ si elenca $L = {t, a, v, o, l}$ , e la $o$ , che nella parola compare due volte, si scrive una volta sola.

Una caratteristica troppo larga fa entrare elementi che nell'insieme non ci sono. ${4, 8, 12, 16}$ non è l'insieme dei numeri pari: $2$ , $6$ e $10$ sono pari ma mancano. Una caratteristica giusta è «i multipli di $4$ compresi fra $0$ e $20$ », che fa entrare quei quattro numeri e nessun altro.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Rappresentazione per caratteristica

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Simulazioni

Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 4: si sceglie una proprietà, e sul tabellone si accendono tutti e soli i numeri che la rispettano, mentre sotto compaiono la caratteristica e l'elenco.

Domande

Che cosa vuol dire la barra verticale nella scrittura $A = {x | x$ $è$ $un$ $numero$ $pari}$ ?
- A «diviso»
- B «oppure»
- C «tale che»
- D «non appartiene»
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Risposta giusta: C. «tale che»
La scrittura si legge «l'insieme degli elementi $x$ tali che $x$ è un numero pari». Dopo la barra c'è la proprietà che decide chi entra nell'insieme.
Quale proprietà descrive l'insieme ${11, 13, 15, 17, 19}$ ?
- A I numeri dispari compresi fra 10 e 20
- B I numeri dispari
- C I numeri compresi fra 10 e 20
- D I numeri primi compresi fra 10 e 20
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Risposta giusta: A. I numeri dispari compresi fra 10 e 20
Servono tutte e due le condizioni. «Dispari» da sola fa entrare anche $9$ e $21$ ; «compresi fra 10 e 20» anche i pari come $12$ ; fra i primi compresi fra 10 e 20 il $15$ non c'è, perché $15 = 3 \cdot 5$ .
$M = {x | x$ $è$ $un$ $multiplo$ $di$ $6$ $minore$ $di$ $40}$ . Quale numero appartiene a $M$ ?
- A $42$
- B $32$
- C $16$
- D $24$
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Risposta giusta: D. $24$
$24 = 6 \cdot 4$ ed è minore di $40$ : rispetta tutte e due le condizioni. $42$ è un multiplo di $6$ ma supera $40$ ; $32$ e $16$ sono minori di $40$ ma non sono multipli di $6$ .
Come si scrive per elencazione l'insieme $L = {x | x$ $è$ $una$ $lettera$ $della$ $parola$ $nonna}$ ?
- A ${n, o, n, n, a}$
- B ${n, o, a}$
- C ${nonna}$
- D ${n, a}$
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Risposta giusta: B. ${n, o, a}$
Le lettere diverse sono tre. La $n$ compare tre volte nella parola, ma nell'insieme si scrive una volta sola; la $o$ invece non va dimenticata.
Per quale di questi insiemi la caratteristica è l'unico modo di scriverlo per intero?
- A I multipli di 3
- B I giorni della settimana
- C Le vocali
- D I numeri da 1 a 10
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Risposta giusta: A. I multipli di 3
I multipli di $3$ non finiscono mai: l'elenco si può cominciare, ${0, 3, 6, 9, …}$ , ma non completare. Gli altri tre insiemi sono finiti e si possono anche elencare.
Quale caratteristica descrive l'insieme $B = {2, 3, 5, 7}$ ?
- A I numeri dispari minori di 10
- B I numeri primi
- C I numeri primi minori di 10
- D I numeri minori di 8
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Risposta giusta: C. I numeri primi minori di 10
$2$ , $3$ , $5$ e $7$ sono proprio i numeri primi minori di $10$ . «I numeri primi» è troppo larga, perché entrerebbero anche $11$ , $13$ e così via; fra i dispari minori di $10$ manca il $2$ e ci sono $1$ e $9$ ; fra i numeri minori di $8$ ci sono anche $0$ , $1$ , $4$ e $6$ .
Due compagni descrivono l'insieme ${0, 2, 4, 6, 8}$ : uno scrive «le cifre pari», l'altro «i numeri pari minori di 10». Chi ha ragione?
- A Solo il primo
- B Solo il secondo
- C Nessuno dei due
- D Tutti e due
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Risposta giusta: D. Tutti e due
Le due proprietà fanno entrare esattamente gli stessi elementi, quindi descrivono lo stesso insieme. Un insieme può avere più caratteristiche giuste: conta che valgano per tutti e soli i suoi elementi.
Perché «i numeri pari» non è una caratteristica giusta per l'insieme ${4, 8, 12, 16}$ ?
- A Perché i numeri pari sono infiniti
- B Perché fa entrare anche numeri che nell'insieme mancano, come $2$ e $6$
- C Perché una caratteristica non può parlare di numeri
- D È giusta: i quattro numeri sono tutti pari
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Risposta giusta: B. Perché fa entrare anche numeri che nell'insieme mancano, come $2$ e $6$
Una caratteristica deve valere per tutti e soli gli elementi. I quattro numeri sono pari, ma anche $2$ , $6$ e $10$ lo sono e nell'insieme non ci sono. Funziona invece «i multipli di $4$ compresi fra $0$ e $20$ ».

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

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