Matematica · 1ª media · Lezione 3 di 7

Rappresentazione con diagrammi e per elencazione

Rappresentare un insieme con il diagramma di Eulero-Venn e per elencazione fra parentesi graffe, passando dall'una all'altra nei due versi.

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Teoria in pillole

Lo stesso insieme si può scrivere in due modi: disegnandolo dentro una linea chiusa, oppure elencando i suoi elementi fra due parentesi graffe. Sono due rappresentazioni della stessa cosa, e si sceglie quella che rende più evidente ciò che si vuole mostrare.

Per elencazione

$P = {2, 3, 5, 7}$

il nome fuori, gli elementi fra graffe separati da virgola:

P

è l'insieme dei numeri primi minori di

10

Con un diagramma di Eulero-Venngli elementi dentro la linea, il nome dell'insieme fuori, e fuori anche il

9

, che primo non è

Ogni elemento si scrive una volta sola: le cifre del numero $12 023$ formano l'insieme $C = {1, 2, 0, 3}$ , non cinque elementi.
L'ordine non conta: $A = {11, 13, 15}$ e $A = {15, 11, 13}$ sono lo stesso insieme.
La lettera maiuscola sta fuori dalla linea chiusa, perché è il nome del contenitore e non uno degli elementi. Un insieme vuoto si disegna come una linea chiusa senza niente dentro, e si scrive $B = {}$ .

La ripetizione è l'errore più frequente. Elencando le lettere di «carriola» si scrive $C = {c,$ $a,$ $r,$ $i,$ $o,$ $l}$ : la $a$ e la $r$ compaiono due volte nella parola, ma nell'insieme una volta sola. L'insieme dice quali elementi ci sono, non quante volte compaiono.

La mappa

La lezione in un colpo d'occhio: parti dal centro e segui i rami.

Mappa mentale: Rappresentazione con diagrammi e per elencazione

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Simulazioni

Gli insiemi in classe: sette tappe, una per lezione. Si apre sulla tappa 3: si aggiunge o si toglie una lettera e cambiano insieme il disegno e l'elenco fra graffe.

Domande

In quanti modi si può rappresentare un insieme, fra quelli visti qui?
- A In un modo solo, con l'elenco
- B In tre
- C In due: l'elenco fra graffe e il diagramma
- D Dipende dagli elementi
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Risposta giusta: C. In due: l'elenco fra graffe e il diagramma
L'elencazione fra parentesi graffe e il diagramma di Eulero-Venn sono due scritture dello stesso insieme. Si sceglie quella che rende più evidente quello che si vuole mostrare.
$C$ è l'insieme delle cifre del numero 12 023. Come si scrive per elencazione?
- A $C = {1, 2, 0, 3}$
- B $C = {1, 2, 0, 2, 3}$
- C $C = {12 023}$
- D $C = {5}$
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Risposta giusta: A. $C = {1, 2, 0, 3}$
Il 2 compare due volte nel numero, ma nell'insieme si scrive una volta sola: gli elementi diversi sono quattro. L'insieme dice quali cifre ci sono, non quante volte.
Dove si scrive la lettera maiuscola che dà il nome all'insieme?
- A Dentro la linea chiusa, fra gli elementi
- B Fuori dalla linea chiusa
- C Sotto il disegno, come didascalia
- D Dentro, ma più in grande
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Risposta giusta: B. Fuori dalla linea chiusa
Il nome sta fuori perché non è un elemento dell'insieme: è l'etichetta del contenitore. Scriverlo dentro lo farebbe sembrare uno degli oggetti raggruppati.
Gli insiemi $A = {11, 13, 15}$ e $B = {15, 11, 13}$ sono uguali?
- A No, perché l'ordine è diverso
- B No, perché si chiamano in modo diverso
- C Sì, perché hanno lo stesso numero di elementi
- D Sì, perché hanno gli stessi elementi
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Risposta giusta: D. Sì, perché hanno gli stessi elementi
Contano gli elementi, non l'ordine in cui sono scritti né il nome dell'insieme. Due insiemi con lo stesso numero di elementi, però, non sono per forza uguali: devono essere proprio gli stessi.
Come si scrive per elencazione l'insieme delle lettere della parola «carriola»?
- A ${c,$ $a,$ $r,$ $r,$ $i,$ $o,$ $l,$ $a}$
- B ${c,$ $a,$ $r,$ $i,$ $o,$ $l}$
- C ${carriola}$
- D ${8}$
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Risposta giusta: B. ${c,$ $a,$ $r,$ $i,$ $o,$ $l}$
Nella parola la $a$ e la $r$ compaiono due volte, ma nell'insieme ogni elemento si scrive una volta sola: le lettere diverse sono sei.
In un diagramma di Eulero-Venn, dove si disegna un oggetto che non appartiene all'insieme?
- A Non si disegna affatto
- B Sul bordo della linea
- C Fuori dalla linea chiusa
- D Dentro, ma barrato
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Risposta giusta: C. Fuori dalla linea chiusa
Si scrive fuori dalla linea chiusa. Mostrare anche gli esclusi serve a far vedere dove passa il confine dell'insieme, che è la cosa che il diagramma racconta meglio dell'elenco.
$A$ è l'insieme dei numeri dispari compresi fra 10 e 16. Come si scrive?
- A $A = {10, 12, 14, 16}$
- B $A = {10, 11, 13, 15}$
- C $A = {11, 12, 13, 14, 15}$
- D $A = {11, 13, 15}$
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Risposta giusta: D. $A = {11, 13, 15}$
«Compresi fra 10 e 16» esclude gli estremi, e dispari vuol dire non divisibile per 2: restano 11, 13 e 15.
Come si rappresenta un insieme vuoto per elencazione?
- A $B = {}$
- B Non si rappresenta
- C $B = {0}$
- D $B = {vuoto}$
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Risposta giusta: A. $B = {}$
Si scrivono le parentesi graffe senza niente dentro, oppure si usa il simbolo ∅. Scrivere ${0}$ sarebbe sbagliato: quell'insieme avrebbe un elemento, il numero zero.

Palestra del capitolo

Gli esercizi sono nella palestra unica del capitolo: livelli a sblocco, correzione passo passo.

Palestra degli Insiemi: Un primo giro per capire da dove partire, poi giri mirati sulle sette aree, una per lezione: classificare, appartenenza e insiemi vuoti, diagrammi di Eulero-Venn ed elencazione, caratteristica, sottoinsiemi, intersezione e unione.

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